上海市楊浦區(qū)2008學年度第二學期高三學科測試

數學文科試卷                  　　2009.4

（滿分150分，考試時間120分鐘）

考生注意：

本試卷包括試題紙和答題紙兩部分．在本試題紙上答題無效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題．可使用符合規(guī)定的計算器答題．

一、填空題（本大題滿分60分）本大題共有12題，每題5分，考生應在答題紙上相應編號的空格內直接填寫結果．

1．直線的傾斜角為       ．

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2．已知全集，集合，，則=       ．

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3．若復數滿足(其中是虛數單位)，則=       ．

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4．二項式展開式中系數的值是       ．

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5．高三（1）班班委會由3名男生和2名女生組成，現從中任選

2人參加上海世博會的志愿者工作，則選出的人中至少有一名女

生的概率是       ．

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6．如果某音叉發(fā)出的聲波可以用函數

描述，那么音叉聲波的頻率是       赫茲．

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7．若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，

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則實數的值是       ．

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8．方程的解是       ．

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9．如圖是輸出某個數列前10項的框圖，則該數列第

3項的值是       ．

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10. 若經過點P（－1，0）的直線與圓

相切，則此直線的方程是        .

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11．計算：=       .

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12．在△中，，，是邊的中點，則的值是       .

 

 

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二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題4分．每題只有一個正確答案，選擇正確答案的字母代號并按照要求填涂在答題紙的相應位置．

13．線性方程組的增廣矩陣是………………………………………………（    ）．

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A．    B．    C．     D．

 

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14．在直角坐標系中，已知△的頂點和，頂點在橢圓

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上，則的值是…………………………………………………………………（    ）．

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A．                B．                       C．2                            D．4

 

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15．以依次表示方程的根，則的大小順

序為…………………………………………………………………………………………（    ）．

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A．         B．                 C．                D．

 

 

 

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16．如圖，下列四個幾何體中，它們的三視圖（主視圖、側視圖、俯視圖）有且僅有兩個相同，

而另一個不同的兩個幾何體是……………………………………………………………（    ）．

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      • 
   
        
    
    
        
    
        （4）底面邊長為2、高為3的正四棱柱
        A．（1）（2）        B．（1）（3）               C．（2）（3）               D．（1）（4）
         
        

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        三、解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙上與題號對應的區(qū)域寫出必要的步驟.
        17．(本題滿分12分)
        

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        文本框:  x動物園要建造一面靠墻的2間面積相同的長方形熊貓居室（如圖所示）．如果可供建造圍墻的材料長是30米，那么寬為多少米時才能使所建造的熊貓居室面積最大？熊貓居室的最大面積是多少平方米？
         
         
         
        18. (本題滿分14分) 本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分.
        

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        已知某圓錐的體積是cm3，底面半徑等于3cm．
        （1）求該圓錐的高；
        （2）求該圓錐的側面積．
         
         
        19．(本題滿分15分) 本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分4分，第3小題滿分8分.
        

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        已知等差數列和等比數列的通項公式分別為、，（其中）．
        

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        （1）求數列前項的和；
        

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        （2）求數列各項的和；
        

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        （3）設數列滿足，求數列前項的和．
         
         
         
         
         
         
         
         
        

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        20．(本題滿分15分) 本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分10分.
        

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        已知為實數，函數，（）． 
        

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        （1）若，試求的取值范圍；
        

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        （2）若，求函數的最小值．
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
        

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        21．(本題滿分18分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分7分，第3小題滿分7分.
        

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        已知是拋物線上的相異兩點．
        

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        （1）設過點且斜率為-1的直線，與過點且斜率1的直線相交于點P(4，4)，求直線AB的斜率；
        

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        （2）問題（1）的條件中出現了這樣的幾個要素：已知圓錐曲線G，過該圓錐曲線上的相異兩點A、B所作的兩條直線相交于圓錐曲線G上一點；結論是關于直線AB的斜率的值．請你對問題（1）作適當推廣，并給予解答；
        

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        （3）線段AB（不平行于軸）的垂直平分線與軸相交于點．若，試用 表示線段AB中點的橫坐標．
         
         
         
         
         
         
        上海市楊浦區(qū)2008學年度第二學期高三學科測試
        

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        說明
            1. 本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同,可參照解答中評分標準的精神進行評分.
            2. 評閱試卷，應堅持每題評閱到底，不要因為考生的解答中出現錯誤而中斷對該題的評閱. 當考生的解答在某一步出現錯誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內容和難度時，可視影響程度決定后面部分的給分，這時原則上不應超過后面部分應給分數之半，如果有較嚴重的概念性錯誤，就不給分.
            3. 第17題至第21題中右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的該題累加分數. 
            4. 給分或扣分均以1分為單位.
        答案及評分標準
         
        1．；  
2．；   3．；  
4．；   5．（理）元；（文）0.7；
        6．（理）； （文）200赫茲；   7．（理）5；  （文）p=4．
        8．（理）； （文）
        9．；    10．（理）；  （文）方程為．
        11．（理）；  （文）；    12．12．
         
        13――16：A；  C ； 
C；  理B文A
         
        17．設熊貓居室的總面積為平方米，由題意得：．… 6分
        解法1：，因為，而當時，取得最大值75． 10分
        所以當熊貓居室的寬為5米時，它的面積最大，最大值為75平方米．      …… 12分
        解法2：=75，當且僅當，即時，取得最大值75．                       
…… 10分
        所以當熊貓居室的寬為5米時，它的面積最大，最大值為75平方米．      …… 12分
         
        18．理：如圖，建立空間直角坐標系，可得有關點的坐標為、、、、、．                                 
……2分
        設平面的法向量為，則，．
        因為，，                         
……3分
        ，， 
        所以解得，取，得平面一個法向量，且．                                                    
……5分
        （1）在平面取一點，可得，于是頂點到平面的距離，所以頂點到平面的距離為，        
……8分
        （2）因為平面的一個法向量為，設與的夾角為a，則
        ，                                       
……12分
        結合圖形可判斷得二面角是一個銳角，它的大小為．……14分
         
        文：（1）圓錐底面積為 cm2，                              
         ……1分
        設圓錐高為cm，由體積，                              
……5分
        由cm3得cm；                               
         ……8分
        （2）母線長cm，                          
                  ……9分
        設底面周長為，則該圓錐的側面積=，                
         ……12分
        所以該圓錐的側面積=cm2．                                    
……14分
         
        19．（理）（1）；                       
                  ……3分
        （2）當時，（）
        ，
……6分
        所以，（）．                            
         ……8分
        （3）與（2）同理可求得：，             
         ……10分
        設=，
        則，（用等比數列前n項和公式的推導方法），相減得
        ，所以
        ．                
         ……14分
         
        （文）（1）設數列前項和為，則．     ……3分
        （2）公比，所以由無窮等比數列各項的和公式得：
        數列各項的和為=1．                                    
……7分
        （3）設數列的前項和為，當為奇數時，=
        ；                                          
……11分
        當為偶數時，=．    ……14分
        即．                  
……15分
         
        20．（1）即，又，2分
        所以，從而的取值范圍是．     
……5分
        （2），令，則，因為，所以，當且僅當時，等號成立，8分
        由解得，所以當時，函數的最小值是；                                             ……11分
        下面求當時，函數的最小值．
        當時，，函數在上為減函數．所以函數的最小值為．
        [當時，函數在上為減函數的證明：任取，，因為，，所以，，由單調性的定義函數在上為減函數．]
        于是，當時，函數的最小值是；當時，函數的最小值．                     
         ……15分
         
        21．（1）由解得；由解得．
        由點斜式寫出兩條直線的方程，，
        所以直線AB的斜率為．                                   ……4分
        （2）推廣的評分要求分三層
        一層:點P到一般或斜率到一般,或拋物線到一般（3分，問題1分、解答2分）
        例：1．已知是拋物線上的相異兩點．設過點且斜率為-1的直線，與過點且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點P，求直線AB的斜率；
        2．已知是拋物線上的相異兩點．設過點且斜率為-k 1的直線，與過點且斜率為k的直線相交于拋物線上的一點P（4，4），求直線AB的斜率；
        3．已知是拋物線上的相異兩點．設過點且斜率為-1的直線，與過點且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點P，求直線AB的斜率； AB的斜率的值．
        二層:兩個一般或推廣到其它曲線（4分，問題與解答各占2分）
        例：4．已知點R是拋物線上的定點．過點P作斜率分別為、的兩條直線，分別交拋物線于A、B兩點，試計算直線AB的斜率．
        三層:滿分（對拋物線，橢圓，雙曲線或對所有圓錐曲線成立的想法．）（7分，問題3分、解答4分）
        例如：5.已知拋物線上有一定點P，過點P作斜率分別為、的兩條直線，分別交拋物線于A、B兩點，試計算直線AB的斜率．
        過點P（），斜率互為相反數的直線可設為，，其中。
         由得，所以
        同理，把上式中換成得，所以
        當P為原點時直線AB的斜率不存在，當P不為原點時直線AB的斜率為。
        （3）（理）點，設，則． 
        設線段的中點是，斜率為，則=．12分
        所以線段的垂直平分線的方程為，
        又點在直線上，所以，而，于是．                                                      
……13分
         (斜率，則--------------------------------13分)
        線段所在直線的方程為，                 
……14分
        代入，整理得              
……15分
        ，。設線段長為，則
        =
                                      
……16分
        因為，所以                ……18分
        即：．（）    
         
        （文）設，則
		
        

        

        同步練習冊答案
        


        


        






















	



        
	







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