上海市南匯區(qū)2009年高考第二次模擬考試
高三數(shù)學(xué)(理科)試卷
(時(shí)間120分鐘,滿分150分)
一、填空題(本大題共11小題,每小題5分,共55分)
1.函數(shù)的反函數(shù)是_______________________
3.函數(shù)的最小正周期是
4.=
5.一種彩票,每注售價(jià)2元,中獎(jiǎng)率為1%,如果每注的獎(jiǎng)金為50元,則購(gòu)買(mǎi)一注彩票的期望收益是_____元。
6.地球的半徑為R,在北緯東經(jīng)有一座城市A,在北緯東經(jīng)有一座城市B,則坐飛機(jī)從A城市飛到B城市的最短距離是_______ (飛機(jī)的飛行高度忽略不計(jì))。
7.如圖所示,這是計(jì)算的值的一個(gè)程序框圖,其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是
8.已知直線的極坐標(biāo)方程為,則極點(diǎn)到這條直線的距離是
9.,則____________
試用 n表示出第n個(gè)圖形的邊數(shù)
11.三位同學(xué)在研究函數(shù) (x∈R) 時(shí),分別給出下面三個(gè)結(jié)論:
① 函數(shù)的值域?yàn)?(-1,1)
② 若,則一定有
③ 若規(guī)定,,則對(duì)任意恒成立.你認(rèn)為上述三個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有
二、選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)是符合題目要求的)
12.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若為一確定常數(shù),下列各式也為確定常數(shù)的是( )
A. B. C. D.
13.是實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)虛數(shù)根,則直線與圓C:交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )
A.2 B.1 C.0 D.以上都可能
14.在中,“”是“”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
15.橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線,經(jīng)橢圓反射后,反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)。今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤(pán),點(diǎn)、是它的焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,焦距為,靜放在點(diǎn)的小球(小球的半徑不計(jì)),從點(diǎn)沿直線出發(fā),經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)時(shí),小球經(jīng)過(guò)的路程是( )
A. B. C. D.以上答案均有可能
三、解答題(本大題有5道題,共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推證過(guò)程)
16.(本題滿分12分)
17.(本小題滿分14分第1小題7分,第2小題7分)
圓錐的軸截面是等腰直角三角形,如圖所示,底面圓的半徑為1,點(diǎn)O是圓心,過(guò)頂點(diǎn)S的截面SAB與底面所成的二面角是,
(1)求截面SAB的面積;
(2)求點(diǎn)O到截面SAB的距離。
18.(本小題滿分15分第1小題7分,第2小題8分)
為減少世博中心區(qū)域內(nèi)的環(huán)境污染,有關(guān)部門(mén)決定,從2006年開(kāi)始停止辦理世博中心區(qū)域內(nèi)摩托車(chē)入戶(hù)手續(xù).此時(shí)該區(qū)域內(nèi)居民摩托車(chē)擁有量已達(dá)1.6萬(wàn)輛.據(jù)測(cè)算,每7輛摩托車(chē)排放污染物總量等于一輛公交車(chē)排放的污染物,而每輛摩托車(chē)的運(yùn)送能力是一輛公交車(chē)運(yùn)送能力的4%.若從2006年年初起n年內(nèi)退役部分摩托車(chē),第一年退役a萬(wàn)輛,以后每年退役的摩托車(chē)數(shù)量是上一年的80%,同時(shí)增加公交車(chē)的數(shù)量,使新增公交車(chē)的運(yùn)送能力等于退役摩托車(chē)原有的運(yùn)送能力.
(1)求n年內(nèi)新增公交車(chē)的總量(萬(wàn)輛);
(2)要求到2010年年初,剩余摩托車(chē)與新增公交車(chē)排放污染物的總量不超過(guò)原有1.6萬(wàn)輛摩托車(chē)排放污染物總量的一半,假定每輛摩托車(chē)排放污染物數(shù)量為,問(wèn)第一年至少退役摩托車(chē)多少萬(wàn)輛?(精確到0.01)
19.(本題滿分16分,第1小題4分,第2小題6分,第3小題6分)
設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),其右焦點(diǎn)是直線與軸的交點(diǎn),短軸的長(zhǎng)是焦距的2倍.
(1)求橢圓的方程;
(2)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的最大值和最小值;
(3)是否存在過(guò)點(diǎn)A(5,0)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D,使得|F2C|=|F2D|?若存在,求直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
20. (本題18分,其中(1)題4分,(2)題6分,(3)題8分)
對(duì)于定義在上的函數(shù),可以證明點(diǎn)是圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的充要條件是,.
(1) 求函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn);
(2)函數(shù)在R上是奇函數(shù),求a,b滿足的條件;并討論在區(qū)間[-1,1]上是否存在常數(shù)a,使得恒成立?
(3)試寫(xiě)出函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的充要條件(不用證明);利用所學(xué)知識(shí),研究函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性。
南匯區(qū)2009年高考模擬考試高三數(shù)學(xué)理科答案
一、填空題
1. 2. 6 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10. 11.3
三、解答題
16.解:
……………4’
當(dāng)>0時(shí),, 解得,……………………6’
從而, ,
T=,最大值為,最小值為;……………………………………………8’
當(dāng)m<0時(shí),, 解得,……………………………10’
從而,,
T=,最大值為,最小值為.………………………………………12’
SO=1,所以O(shè)C=,SC=,AB=
∴截面SAB的面積=
(2)在中,作,則OD即為所求,
18.解:(1)設(shè)2006年底退役摩托車(chē)為萬(wàn)輛,2007年底為萬(wàn)輛,依次類(lèi)推,則:
=a,
所以n年內(nèi)退役的摩托車(chē)數(shù)量是S’=+=
所以n年內(nèi)新增公交車(chē)的總量=5a(4%=0.2a()
(2)到2010年年初退役的摩托車(chē)數(shù)量是:
剩余的摩托車(chē)數(shù)量是:1.6-
新增公交車(chē)的數(shù)量
依題 :[1.6-]b+7b0.5×1.6b
解得:a0.38
所以第一年至少退役摩托車(chē)0.38萬(wàn)輛
19.解:(1)易知直線與軸的交點(diǎn)是,所以,且,
所以橢圓的方程是 ……………………………………4分
(2)易知 …………………………………………6分
設(shè)P(x,y),則
= ……………………………………8分
,
,即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí),有最小值3;
當(dāng),即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí),有最大值4 ……10分
(3)設(shè),則P點(diǎn)坐標(biāo)為,…………………………12分
代入橢圓方程,得:,
即…………………………16分
20. 解:(1)解:設(shè)為函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn),則對(duì)于恒成立.
即對(duì)于恒成立,……………(2分)
由,
故函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為. ……………………(4分)
(2)a∈R,b=2時(shí),f(x)是奇函數(shù)。
不存在常數(shù)a使 x∈[-1,1] 時(shí)恒成立。
依題,此時(shí)
令 x∈[-1,1]
∴∈[-7,1]
若a=0,=0,不合題;
若a>0, 此時(shí)為單調(diào)增函數(shù),=-a.
若存在a合題,則-a1,與a>0矛盾。
若a<0, 此時(shí)為單調(diào)減函數(shù), =a
若存在a合題,則a1,與a<0矛盾。
綜上可知,符合條件的a不存在。 …………………………………………10分
(3)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的充要條件是
……………………………………………………………………(12分)
①時(shí),,其圖像關(guān)于軸上任意一點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng);關(guān)于平行于軸的任意一條直線成軸對(duì)稱(chēng)圖形;
②時(shí),,其圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)圖形;
③時(shí),,其圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng);
④時(shí),的圖像不可能是軸對(duì)稱(chēng)圖形。
設(shè)為函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn),則對(duì)于恒成立.
即對(duì)于恒成立,
由,
故函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為. ………………(18分)
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