2009屆高三數(shù)學圓錐曲線大題訓練

1、設雙曲線：的焦點為,.離心率為.

（1）求此雙曲線漸近線,的方程；

（2）若,分別為,上的動點，且2,求線段中點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。

2、拋物線上有兩個定點A、B分別在對稱軸的上下兩側，F(xiàn)為拋物線的焦點，并且|FA|=2，|FB|=5，在拋物線AOB這段曲線上求一點P，使△PAB的面積最大，并求這個最大面積.

3、如圖：直線L：與橢圓C：交于A、B兩點，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB。

（1）       求證：橢圓C：與直線L：總有兩個交點。

（2）       當時，求點P的軌跡方程。

（3）是否存在直線L，使OAPB為矩形？若存在，求出此時直線L的方程；若不存在，說明理由。

4、已知圓錐曲線的一個焦點為（1，0），對應這個焦點的準線方程為，又曲線過，AB是過F的此圓錐曲線的弦；圓錐曲線中心在原點，其離心率，一條準線的方程是。（1）求圓錐曲線和的方程。（2）當不超過8，且此弦所在的直線與圓錐曲線有公共點時，求直線AB的傾斜角的取值范圍。

5、正方形的一條邊AB在直線y=x+4上，頂點C、D在拋物線y²=x上，求正方形的邊長.

6、如圖，已知點，

直線，為平面上的動點，過作直線

的垂線，垂足為點，且．

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點的直線交軌跡于兩點，交直線于點，已知，，求的值；

1、解：（1）由已知雙曲線的離心率為2得：解得a²=1,所以雙曲線的方程為

，所以漸近線L₁,L₂的方程為和＝0

（2）c²＝a²＋b²＝4，得c＝2 ，所以，又2所以=10

設A在L₁上，B在L₂上，設A（x₁ ，，B(x₂，－

所以即

設AB的中點M的坐標為（x，y），則x＝，y＝

所以x₁＋x₂＝2x ， x₁－x₂＝2y

所以整理得：

所以線段AB中點M的軌跡方程為：，軌跡是橢圓。

2、解：由已知得，不妨設點A在x軸上方且坐標為，

由得

          所以A(1，2)，同理B(4,-4),  所以直線AB的方程為.

設在拋物線AOB這段曲線上任一點，且.

   則點P到直線AB的距離d=

所以當時，d取最大值，又

所以△PAB的面積最大值為  此時P點坐標為.

3．解：(1)由得

橢圓C：與直線L：總有兩個交點。

(2)設,,,與交于點，則有

即，又由（1）得，

得 （3）

將（3）代入（2）得

點P的軌跡方程為

（3）       由

當時，這樣的直線不存在；當時，存在這樣的直線，此時直線為

4、解：⑴過P作直線x=-1的垂線段PN.曲線是以為焦點，x=-1為準線的拋物線,且.曲線；

依題意知圓錐曲線為橢圓，.又其焦點在y軸上，圓錐曲線：

   （2）設直線AB：,.由拋物線定義得：，

又由得，其時，。

依題意有即，則

直線AB的傾斜角。

5、解：設CD的方程為y=x+b,由消去x得y²-y+b=0，設C(x₁,y₁),D(x₂,y₂),則y₁+y₂=1,y₁y₂=b,∴｜CD｜ ==，又AB與CD的距離d=,由ABCD為正方形有= ,解得b=-2或b=-6.∴正方形的邊長為3或5.

6、解法一：（Ⅰ）設點，則，由得：

，化簡得．

（Ⅱ）設直線的方程為：

．

設，，又，

聯(lián)立方程組，消去得：

，，故

由，得：

，，整理得：

，，

．

解法二：（Ⅰ）由得：，

，

，

．

所以點的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：．

（Ⅱ）由已知，，得．

則：．…………①

過點分別作準線的垂線，垂足分別為，，

則有：．…………②

由①②得：，即．