南昌市2008-2009學(xué)年度高三測試卷數(shù)學(xué)（3）

一、             選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合，則是　　　　�。�  �。�

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A．　　　　 B. 　　　　　 C. 　　　　　 D.

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2．（文）在數(shù)列{}中，若，且對任意的有，則數(shù)列前15項的和為（    ）

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       A．                  B．30                      C．5                        D．

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(理) 若復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）是純虛數(shù),則實數(shù)的值為 (    )                      

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  A.        B.13         C.         D. -6

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3．若，則下列不等關(guān)系中不能成立的是（   ）

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A．    B．    C．     D．

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4.設(shè)分別是的三個內(nèi)角所對的邊，若的（　�。�

　A.充分不必要條件；  B.必要不充分條件；  C.充要條件；  D.既不充分也不必要條件；

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5.設(shè)，，是空間三條直線，，是空間兩個平面，則下列命題中，逆命題不成立的是(    )

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A  當(dāng)時，若，則∥    

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B  當(dāng)時，若，則

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　 C  當(dāng)，且是在內(nèi)的射影時，若，則

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　 D  當(dāng)，且時，若，則

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6．設(shè)的展開式的各項系數(shù)之和為M，而二項式系數(shù)之和為N，且M－N=992。則展開式中x2項的系數(shù)為（    ）

       A．150                    B．－150                 C．250                     D．－250

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7．將A、B、C、D四個球放入編號為1，2，3的三個盒子中，每個盒子中至少放一個球且A、B兩個球不能放在同一盒子中，則不同的放法有（     ）

       A．15                      B．18                      C．30                      D．36

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8．（文）已知=（2cosα，2sinα）， =（3cosβ，3sinβ），與的夾角為60°，則直線

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xcosα－ysinα+=0與圓(x－cosβ)2+(y+sinβ)2=1的位置關(guān)系是（    ）

A．相交            B．相切                   C．相離                   D．不能確定

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 (理)統(tǒng)計表明，某省某年的高考數(shù)學(xué)成績，現(xiàn)隨機抽查100名考生的數(shù)學(xué)試卷，則成績超過120分的人數(shù)的期望是（    ）

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（已知）

A. 9或10人      B. 6或7人      C. 3或4人        D. 1或2人

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9． 

    
 
    
  
  
    
   
    
    
    
    
    
    1,3,5
         A．8　　　　           B．10　　　　        C．12　　　　         D．14
    

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    10.已知,則當(dāng)m+n取得最小值時，橢圓的離心率為（    ）
    

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    A.             
B.             C.
            D.

    

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    11.關(guān)于函數(shù)有下列命題： 
    

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    ①的最大值是；②是以為最小正周期的周期函數(shù)； 
    

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    ③在區(qū)間上是減函數(shù)；
    

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    ④將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，與已知函數(shù)的圖象重合．
    其中正確命題的序號是（     ）
    A．①②③                      
B．①②          C．②③④      　　D．①②③④
    

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    12. 以正方體的任意三個頂點為頂點作三角形，從中隨機地取出兩個三角形，則這兩個三角形不共面的概率為 （    ）                                                  
       
    

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    A．     
B．    C．    D．
    

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    二、            
填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填寫在題中的橫線上。
    13．.某路段檢查站監(jiān)控錄象顯示，在某時段內(nèi)，有
    1000輛汽車通過該站，現(xiàn)在隨機抽取其中的200
    輛汽車進行車速分析，分析的結(jié)果表示為如下的
    頻率分布直方圖，則估計在這一時段內(nèi)通過該站
    的汽車中車速度不小于90km/h 的約有   
         輛（注：分析時車速均取整數(shù)）。
     
     
    

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    14. (文)已知平面上三點A、B、C滿足1，則 
    的值等于        .
    

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    （理）已知函數(shù)在R上連續(xù)，則      .
    

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    15．設(shè)命題,命題,若命題是命題的必要不充分條件,則r的最大值為      
 .
    

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    16．如圖，正方體，則下列四個命題：
    

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    ①在直線上運動時，三棱錐的體積不變；
    

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    ②在直線上運動時，直線AP與平面ACD1所成角的大小不變；
    

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    ③在直線上運動時，二面角的大小不變； 
    

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    ④M是平面上到點D和距離相等的點，則M點的軌跡是過點的直線
    其中真命題的編號是           
（寫出所有真命題的編號）
     
    

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    三、解答題：本大題共六道小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
    17．（本小題滿分12分）18.已知向量=（sinB，1－cosB)，且與向量 = （2，0）所成角為，其中A、B、C是△ABC的內(nèi)角．
    （Ⅰ）求角Ｂ的大小；
    （Ⅱ）求sinA
+ sinC的取值范圍．
     
    

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    18．（本小題滿分12分）(文科做)學(xué)校文娛隊的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項，已知會唱歌的有2人，會跳舞的有5人，現(xiàn)從中選2人．設(shè)為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數(shù)，且大于0的概率為.（Ⅰ）求文娛隊的人數(shù)；（Ⅱ）寫出的概率．
    (理科做)某中學(xué)開展“創(chuàng)建文明城市知識競賽”活動，競賽題由20道選擇題構(gòu)成，每道選擇題有4個選項，其中有且僅有1個選項是正確的，要求學(xué)生在規(guī)定時間內(nèi)通過筆試完成，且每道題必須選出一個選項(不得多選或不選)，每道題選正確得6分。已知學(xué)生甲對任一道題選擇正確的概率為；學(xué)生乙由于未作準(zhǔn)備，因此只能從每道題的4個選項中隨機地選擇1個.
    (Ⅰ)若選錯得0分，比較甲得66分的概率與乙得54分的概率的大��；
    

    試題詳情
    

    (Ⅱ)為防止個別學(xué)生像乙那樣隨機地作出選擇，學(xué)校決定對每道選擇錯誤的倒扣若干分，但倒扣太多對學(xué)生不公平，倒扣太少又達不到杜絕亂選的目的，倒扣的分?jǐn)?shù)，應(yīng)該恰到好處，使亂選一通的學(xué)生一無所獲，換句話說，如果學(xué)生每道題都隨機選擇，那么他20道題所得總分的數(shù)學(xué)期望應(yīng)該是0.問:對每道題選擇錯誤應(yīng)該倒扣多少分比較合適?
     
    

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    19．（本小題滿分12分）正四面體A-BCD的棱長為1，（Ⅰ）如圖(1)M為CD中點，求異面直線AM與BC所成的角；（Ⅱ）將正四面體沿AB、BD、DC、BC剪開，作為正四棱錐的側(cè)面如圖(2)，求二面角M-AB-E的大�。唬á螅┤魧D(1)與圖(2)面ACD重合，問該幾何體是幾面體（不需要證明），并求這幾何體的體積。 
     
    

    試題詳情
    

     
     
     
     
     
     
     
     
    

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    20．（本小題滿分12分）（文科）已知A、B、C是直線l上的三點，向量，，
    

    試題詳情
    

    滿足：－(y＋3ax)＋(x3－1)＝0．
    （Ⅰ）求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間；
    （Ⅱ）當(dāng)a＝1時，求證：直線4x＋y＋m＝0不可能是函數(shù)y＝f(x)圖象的切線．
    

    試題詳情
    

    （理科）已知A、B、C是直線l上的三點，向量，，滿足：－[y＋2f /(1)]＋ln(x＋1)＝.（Ⅰ）求函數(shù)y＝f(x)的表達式；（Ⅱ）若x＞0，證明：f(x)＞；
    （Ⅲ）若不等式x2≤f(x2)＋m2－2bm－3時，x∈[－1，1]及b∈[－1，1]都恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
     
    

    試題詳情
    

    21．（本小題滿分12分）已知橢圓  是拋物線的一條切線。
    （I）求橢圓的方程；
    

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    （Ⅱ）過點的動直線L交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T？若存在，求出點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。
     
    

    試題詳情
    

    22． (本小題滿分14分）(文科做)已知曲線過上的點作曲線的切線交 軸于點，再過作軸的平行線交曲線C于點，再過作曲線C的切線交軸于點，再過作軸的平行線交曲線C于點，…，依次作下去，記點的橫坐標(biāo)為.
    

    試題詳情
    

    （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；  
    

    試題詳情
    

    （Ⅱ）記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：.
    

    試題詳情
    

     ( 理科做)定義在(0，＋∞)的函數(shù)f(x)＝，其中e＝2.71828……是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R.
    (Ⅰ)若函數(shù)f(x)在點x＝1處連續(xù)，求a的值；
    (Ⅱ)若函數(shù)f(x)為(0，1)上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a 的取值范圍，并判斷此時函數(shù)f(x)在
    (0，＋∞)上是否為單調(diào)函數(shù)；
    (Ⅲ)當(dāng)x∈(0，1)時，記g(x)＝lnf(x)＋x2－ax，試證明：
    對n∈N*，當(dāng)n≥2時，有－＜nk＝1－n.
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    一、選擇題：每小題5分，共60分．
    BDCBB   DCBCB   AA
    二、填空題：每小題４分，共16分．
    13. 300      14.（文），（理）3。       ⒖       ⒗①③④.
    三、解答題：
    17．解：（Ⅰ）∵ =（sinB，1－cosB) , 且與向量=（2，0）所成角為
    ∴ ，∴ tan = ，    又∵ 0<B<p Þ 0< < ，
    ∴ = ，∴ B = 。       
    （Ⅱ）由（1）可得A + C = ，
     ∴，   8分
    ∵，∴， 10分，∴，
    ，當(dāng)且僅當(dāng)。  12分
    18.(文科))解：設(shè)既會唱歌又會跳舞的有x人，則文娛隊中共有（7-x）人，那么只會一項的人數(shù)是（7-2 x）人． (I)∵，∴．
    即,∴．∴x=2． 故文娛隊共有5人．(8分)
    (II) .(12分)
    (理科)解:(Ⅰ) 甲得66分(正確11題)的概率為,……2分
    乙得54分(正確9題)的概率為,……4分
    顯然，即甲得66分的概率與乙得54分的概率一樣大. ……6分
    (Ⅱ)設(shè)答錯一題倒扣x分，則學(xué)生乙選對題的個數(shù)為隨機選擇20個題答對題的個數(shù)的期望為,得分為,
    ,令,得,
    即每答錯一題應(yīng)該倒扣2分    ……12分
     
    19．解：（Ⅰ）取BD中點N.連AN、MN.  就是異面直線AM與BC所成的角，在中，     
（4分）
    （Ⅱ）取BE中點P.連AP、PM,作于過作于連MH.  ， ，即AB  的平面角，在AMP中，
    在ABP中，
    二面角的大小，為   （8分）
    （Ⅲ）若將圖(1)與圖(2)面ACD重合，該幾何體是5面體
    這斜三棱柱的體積=3VA-BCD=3´´´=                       
（12分）
    20．（文科） (Ⅰ) 　∵－(y＋3ax)＋(x3－1)＝0，∴＝(y＋3ax)－(x3－1)
    ∴(y＋3ax)＋[－(x3－1)]＝1，即y＝f(x)＝x3－3ax………………………2分
    ∴f/(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)…………………………………………………4分
    　　　　當(dāng)a≤0時，f/(x)＝3(x2－a)≥0對x∈R恒成立，f(x)的單調(diào)區(qū)間為(－∞，＋∞)
    　　　　當(dāng)a＞0時，f/(x)＞0，x＜－或x＞ 
    f/(x)＜0得－＜x＜…………………………………………6分
    　　　　此時，函數(shù)f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上是增函數(shù)，
    在(－，)上是減函數(shù)……………………………………8分
    　　　　(Ⅱ)∵a＝1，∴f/(x)＝3x2－3，直線4x＋y＋m＝0的斜率為－4………………9分
    　　　　　假設(shè)f/(x)＝－4，即3x2＋1＝0無實根
    　　　　∴直線4x＋y＋m＝0不可能是函數(shù)f(x)圖象的切線………………………………12分
    （理科）(Ⅰ)∵－[y＋2f /(1)]＋ln(x＋1)＝0，∴＝[y＋2f /(1)]－ln(x＋1)
    由于A、B、C三點共線　即[y＋2f /(1)]＋[－ln(x＋1)]＝1…………………2分
    ∴y＝f(x)＝ln(x＋1)＋1－2f /(1)
    f /(x)＝，得f /(1)＝，故f(x)＝ln(x＋1)…………………………………4分
    （Ⅱ）令g(x)＝f(x)－，由g/(x)＝－＝
            
∵x＞0，∴g/(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)………………6分
    　　　　　　故g(x)＞g(0)＝0
              
即f(x)＞………………………………………………………………8分
    　　　（Ⅲ）原不等式等價于x2－f(x2)≤m2－2bm－3
    　　　　令h(x)＝x2－f(x2)＝x2－ln(1＋x2)，由h/(x)＝x－＝…………………10分
            當(dāng)x∈[－1，1]時，h(x)max＝0，∴m2－2bm－3≥0
    令Q(b)＝m2－2bm－3，則
    得m≥3或m≤－3……………12分
    21.解：（I）由
    因直線相切    ，故所求橢圓方程為   （II）當(dāng)L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：                      
    當(dāng)L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：由   
    即兩圓相切于點（0，1）
    因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）.事實上，點T（0，1）就是所求的點，證明如下。
    當(dāng)直線L垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（0，1）
    若直線L不垂直于x軸，可設(shè)直線L：
    由
    記點、 
    ∴TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）,故在坐標(biāo)平面上存在一個定點T（0，1）滿足條件.
    22．(文科)解：（I）∵.  ∴曲線在點處的切線ln的斜率為.
    ∴切線ln的方程為.                （2分）
    令得   ，∴.
    依題意點在直線上，∴  又.          （4分）
    ∴數(shù)列是1為首項，為公比的等比數(shù)列.     ∴.                 （5分）
    （Ⅱ）由已知.
    ∴.    
                    ①
    .               ②
    ①―②得
    .   （9分）
    ∴       （10分）
    又時，.
    又當(dāng)時，.   ∴.∴當(dāng)時，.
    ∴           ∴.      （13分）綜上.  （14分）
    22．(理科)解： (Ⅰ)∵f(1)＝1，∴f(x)＝ea－1＝1   ∴a＝1         ……2分
    (Ⅱ) x∈(0，1)時，f(x)＝xe，
    f＇(x)＝e＋xe(－2x＋a)＝(－2x2＋ax＋1)e,……3分
      f＇(x)≥0，
    ∵t（0）＝1∴－2x2＋ax＋1＞0在(0，1)恒成立Þ t (1) ≥0Þa ≥1……4分
    ∴當(dāng)a≥1時，f(x)在(0，1)上是增函數(shù)；  ……5分
    又當(dāng)a＝1時，f(x)在(0，＋∞)也是單調(diào)遞增的；   ……6分
    當(dāng)a＞1時，∵＝ea－1＞1=f(1)，此時，f(x)在(0，＋∞)不一定是增函數(shù).…… 7分
     (Ⅲ)當(dāng)x∈(0，1)時，g(x)＝lnf(x)＋x2－ax＝lnx，當(dāng)n≥2時，
    欲證：－＜nk＝1－n，
    即證－1－2－3－……－(n－1)＜ln＜1＋＋＋……＋－n
    
即需證
    －1－2－3－……－(n－1)＜ln1＋ln＋ln＋……＋ln＜1＋＋＋……＋－n
    
猜想1－＜lnt＜t－1(其中0＜t＜1).……8分
    構(gòu)造函數(shù)h(t)＝lnt－1＋(0＜t＜1)
    
∵h(yuǎn)＇(t)＝－＝＜0，∴h(t)在(0，1)上時單調(diào)遞減的，
    ∴h(t)＞h（1）=0，即有l(wèi)nt＞1－……10分
    設(shè)s(t)＝lnt－t＋1(0＜t＜1)，
    同理可證s(t)＜0，∴1－＜lnt＜t－1(0＜t＜1)成立   ……12分
    分別取t＝，，……，(n≥2)，所得n－1個不等式相加即得：
    －1－2－3－…－(n－1)＜ln1＋ln＋ln＋……＋ln＜1＋＋＋……＋－n
    ∴－＜nk＝1－n       ……14分
     
    
				
	
    
		
    


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