南昌市2008-2009學(xué)年度高三測試卷數(shù)學(xué)（4）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．(理)若集合，則（    ）.

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A．       B.     C.       D.

（文）設(shè)f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1，3}，則A∩B等于（    ）.

A．{1}　　　B．　　　　C．或{1}　　　　D．或{3}

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2.若為圓的弦的中點，則直線的方程為（     ）.

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 A.        B.   C.    D.

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3．在等比數(shù)列{an}中，a5、a4、a6成等差數(shù)列，則公比q等于       （    ）

       A．1或2                 B．－1或－2           C．1或－2               D．－1或2

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4．實數(shù)滿足則的值為（    ）.

      A．6                   B．6或-6           C．10         D．不確定

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5.已知正方體ABCD―A1B1C1D1中，點M、N分別是在AB1、BC1上，且AM=BN，下列四個結(jié)論：

①AA1⊥MN；②A1C1//MN；③MN//平面ABCD；④MN、AC為異面直線，其中正確的結(jié)論為（  ）

     A．1個                     B．2個                    C．3個                    D．4個

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6．若多項式，則的值為（    ）

A. －2009　  　 B.　 2009　   　C. －2008　   　D. 2008

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7．在100，101，102，…，999這些數(shù)中各位數(shù)字按嚴格遞增（如“145”）或嚴格遞減（如 “321”）順序排列的數(shù)的個數(shù)是（     ）.

?  A．120                 B．168                        C．204                        D．2163

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8．(理)對于使成立的所有常數(shù)M中，我們把M的最小值1叫做 的上確界，若a，b為正實數(shù)，且，則的上確界為（    ）.

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A．            B．         C．           D．-4

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（文）設(shè)為坐標原點，已知點點滿足,則的最大值為（　�。�.

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     　　　   　　　       　　  不存在

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9. (理)如果隨機變量ξ~N(μ,σ2),且Eξ=3,Dξ=4,則P（-1＜ξ≤1 )等于（    ）.

A.2Φ(1)-1         B.Φ(2)-Φ(1)           C.Φ(1)-Φ(2)          D.Φ(-2)-Φ(-1)

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（文）設(shè).在右圖所示的正方形內(nèi)(包括邊界),整點(即橫、縱坐標均為

整數(shù)的點)的個數(shù)是（   ）

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10．（理）已知向量a=(1,1), b=(1,0), c滿足a? c=0且|a|=|c|, b?c>0，若映射

f:(x,y)→(x′,y′) =xa+yc，則在映射f下，向量(cosθ,sinθ)（其中θ∈R）的原象的模為（     ）.

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A.              B. 1           C.                       D.

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（文）若，則的最大值是（    ）

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（A）            （B）                 （C）                  （D）

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11．函數(shù)的圖象大致是                                                                 （     ）

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A．              B．             C．                D．

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12.（理）函數(shù)滿足：對一切

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時，則（     ）

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A．           B．         C．    D．  

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（文）已知偶函數(shù)，則方程

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   的解的個數(shù)為                                                                            （     ）

       A．6                        B．7                        C．12                      D．14

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二、填空題：（本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題目中的橫線上。）

13．（理）設(shè)a、b∈R,n∈N*且a+2i=,則=_______.

 (文) 函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的部分數(shù)值如下:

x

－3

－2

－1

0

1

2

3

4

5

6

y

－80

－24

0

4

0

0

16

60

144

296

則函數(shù)y=lgf(x)的定義域為___________.

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14．為了了解“預(yù)防禽流感疫苗”的使用情況，某市衛(wèi)生部門對本地區(qū)9月份至11月份使用疫苗的所有養(yǎng)雞場進行了調(diào)查，根據(jù)下列圖表提供的信息，可以得出這三個月本地區(qū)每月注射了疫苗的雞的數(shù)量平均為      萬只．

月份

養(yǎng)雞場（個數(shù)）

9

20

10

50

11

100

 

 

 

 

 

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15.已知正四面體S―ABC中，點E為SA的中點，點F為△ABC的中心，則異面直線EF、AB所

成的角為      .

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16．（理）已知m、n、s、t為正實數(shù)，m＋n＝2，＋＝9，其中m、n是常數(shù)，且s＋t的最小值為，滿足條件的點(m，n)是橢圓＋＝1一弦的中點，則此弦所在的直線方程為             .

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 (文)已知橢圓的右焦點為，過作與軸垂直的直線與橢圓相交于點，過點的橢圓的切線與軸相交于點，則點的坐標為         .

 

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三、解答題：（本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17、（本題滿分12分）

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已知，將的圖象向左平移，再向上平移2個單位

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后圖象關(guān)于對稱.

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（I）求實數(shù)a,并求出取得最大值時x的集合；

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（II） 求的最小正周期，并求在[上的值域.

 

 

 

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18．（本小題滿分12分）

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數(shù)列｛｝的前ｎ項和為，若＝.

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（I）若數(shù)列｛+c｝成等比數(shù)列，求常數(shù)c的值；

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（II）求數(shù)列｛｝的通項公式；

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（Ⅲ）數(shù)列｛｝中是否存在三項,它們可以構(gòu)成等差數(shù)列?若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在, 請說明理由．

 

 

 

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19.（本小題滿分12分）

（理）甲袋中有3個白球和4個黑球，乙袋中有5個白球和4個黑球，現(xiàn)在從甲、乙兩袋中各取出2個球。

（I）求取得的4個球均是白球的概率；

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（II）求取得白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望。

(文) 美國次貸危機引發(fā)2008年全球金融動蕩，波及中國兩大股市，甲、乙、丙三人打算趁目前股市低迷之際“抄底”(在低位處買入)。若三人商定在圈定的10只股票中各自隨機購買一只（假定購買時每支股票的基本情況完全相同）。

（I）求甲、乙、丙三人恰好買到同一只股票的概率；

（II）求甲、乙、丙三人中至少有兩人買到同一只股票的概率；

 

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20．（本小題滿分12分）如圖，在底面是菱形的四棱錐P―ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,點E在PD上，且PE:ED=2:1.

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 （I）證明:PA⊥平面ABCD；

 （II）求二面角E-AC-D的大�。�

 （Ⅲ）在棱PC上是否存在一點F，使BF//平面AEC？

證明你的結(jié)論.

 

 

 

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21. （本小題滿分12分）F1、F2是雙曲線的左右焦點，O為坐標原點，P在雙曲線左支上，點M在右準線上，且滿足：。

   （I）求此雙曲線的離心率；

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   （II）若此雙曲線過N（2，），求雙曲線方程；

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   （Ⅲ）若過N（2，）的雙曲線的虛軸端點分別為B1，B2（B1在y軸正半軸），點A、B在雙曲線上，且，求時，直線AB的方程。

 

 

 

 

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22．（本題滿分14分）

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（理科）已知函數(shù).

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（I）的根，β是方程xex =2009的根，求αβ的值。                                                                       

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（II）求證：在區(qū)間（1，）上，函數(shù)圖象在函數(shù)圖象的下方；

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（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，求證：≥．                

（文科）已知函數(shù)f(x)＝4x3－3x2cosθ＋，其中x∈R，θ是參數(shù)，且0≤θ≤．

（I）當cosθ＝0時，判斷函數(shù)f(x)是否有極值；

（II）要使函數(shù)f(x)的極小值大于零，求參數(shù)θ的取值范圍；

（Ⅲ）若對（2）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)θ，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2a－1，a)內(nèi)都是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

B

C

A

B

A

C

B 

B

理D 文B

D

理D 文C

二．填空題

13.（理）－1；(文) (－1,1)∪(2,+∞).         14. 90.

15. ；                                     16. （理）x＋2y－3＝0； (文).

三．解答題

17.  解：（I）平移以后得

，又關(guān)于對稱

, *，

當且僅當時取最大值，

所以，取得最大值時的集合為.…………6分

（II）的最小正周期為； ，

，在[上的值域為.…………12分

18．解：（I）當ｎ∈Ｎ時有：＝２－３n，　　　∴＝２－３(n+1)，

兩式相減得：＝2－２－３　　　∴＝２＋３�！　撤�

∴＋３＝２（＋３）。

又＝＝２－３，　　　∴＝３，　＋３＝６≠０　　　……４分

∴數(shù)列｛＋３｝是首項6，公比為2的等比數(shù)列．從而ｃ＝３．　　……６分

 （II）由（1）知：+3＝，　　∴＝－３．　　　　………８分

（Ⅲ）假設(shè)數(shù)列｛｝中是否存在三項,,,(r<s<t),它們可以構(gòu)成等差數(shù)列,

∵<<,   ∴只能是＋＝２,

∴（－３）＋（－３）＝２（－３）

即＋＝．∴１＋＝．　

　∵ｒ＜ｓ＜ｔ，ｒ、ｓ、ｔ均為正整數(shù)，∴式左邊為奇數(shù)右邊為偶數(shù)，不可能成立．

因此數(shù)列｛｝中不存在可以構(gòu)成等差數(shù)列的三項．　　………12分

19. （理）解：設(shè)從甲袋中取出個白球的事件為，從乙袋中取出個白球的事件為其中＝0，1，2，則，.

（I）,,

所以………………………..6分

（II）分布列是

0

1

2

3

4

P

……………12分

(文) 19．（I）三人恰好買到同一只股票的概率。  ……4分

（II）解法一：三人中恰好有兩個買到同一只股票的概率.……9分

由（I）知，三人恰好買到同一只股票的概率為，所以三人中至少有兩人買到同一只股票的概率。  ……12分

 

20.證明：（I）因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a，  在△PAB中，

由PA2+AB2=2a2=PB2   知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD…………3分

文本框: （II）解法一:作EG//PA交AD于G，

由PA⊥平面ABCD. 知EG⊥平面ABCD.

作GH⊥AC于H，連結(jié)EH，則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的

平面角，設(shè)為.

又PE : ED=2 : 1，所以

從而    ……………7分

解法二:以A為坐標原點，直線AD、AP分別為y軸、

z軸，過A點垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標系如圖.由題設(shè)條件，相關(guān)各點的坐標分別為

所以 設(shè)二面角E-AC-D的平面角為，并設(shè)平面EAC的一個法向量是

得

平面ACD的一個法向量取，……………7分

（Ⅲ）解法一:設(shè)點F是棱PC上的點，如上述方法建立坐標系.

則

       令  , 得

解得      即 時，

亦即，F(xiàn)是PC的中點時，、、共面.

又  BF平面AEC，所以當F是棱PC的中點時，BF//平面AEC…………12分

      
   
      
    
    
      
    
      (證法一) 取PE的中點M，連結(jié)FM，則FM//CE. 
①
      由   知E是MD的中點.
      連結(jié)BM、BD，設(shè)BDAC=O，則O為BD的中點.
      所以  BM//OE.  ②
      由①、②知，平面BFM//平面AEC.
      又  BF平面BFM，所以BF//平面AEC.
      (證法二)因為  
               

      所以  、、共面.又 BF平面ABC，從而BF//平面AEC. ……12分
       
      21．解：（I）
      由，又 ， 
       ， 
                                      
…… 4分
      （II）
      ，其過點  
                                  
        …… 7分
      （Ⅲ）由（2）知、，
      、、   
      得  
      ①當。
      ②當時，
      又、  
      即
      所以直線AB的方程為                      
…… 12分
      22．（理科）（Ⅰ）由已知條件代入，數(shù)形結(jié)合易知y=lnx與y=的交點為A（α，），y=ex與y=的交點為B（β，）；由KAB= ―1，易知αβ=2009          
…………4分
      （Ⅱ）設(shè)=，則
      ∵ ， ∴ 在區(qū)間（1，）上是減函數(shù)    又∵ 
      ∴ ，即，
      ∴在區(qū)間（1，）上，函數(shù)圖象在函數(shù)圖象的下方        
…9分
      （Ⅲ）當時，左邊=，右邊=，不等式成立；
      當時，
                  
=
      由已知，  ∴
≥
      ∴ ≥．                 
………………………………14分
      （文科）解：（Ⅰ）當cosθ＝0時，函數(shù)f(x)＝4x3＋在R上遞增，故無極值. …3分
      （Ⅱ）函數(shù)f、(x)＝12x2－6xcosθ，令f、(x)＝0，得x＝0或x＝cosθ
      由于0≤θ≤及（1）結(jié)論，f極小(x)＝f(cosθ)＝－cos3θ＋＞0，
      ∴0＜cosθ＜，而0≤θ≤，∴θ的取值范圍是(，)�！�7分
      （Ⅲ）f(x)在區(qū)間(2a－1，a)是增函數(shù)，則或，
      由得　a≤0，又∵θ∈(，)，∴要使2a－1≥恒成立，
      即要2a－1≥，即a≥，由，得≤a＜1，
      ∴實數(shù)a的取值范圍是(－∞，0]∪[，1) …14分
      
				
	
      
		
      


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