4．分類討論法 [例8]已知三個集合A={x∣x2-3x+2=0}.B={x∣x2-ax+a=1}.C={x∣x2-bx+2=0}．試問同時滿足BA且C?A的實數(shù)a和b是否存在?若存在.求出a.b的所有值,若不存在.請說明理由． [分析]先化簡集合A.B及C.然后運用條件BA且C?A探求a與b的值或說明其不存在． [解]由 x2-3x+2=0.解得 x=1或x=2.于是A={1.2}． 由x2-ax+a=1.解得 x=1或x=a -1．于是. 當(dāng)a=2時.B={1},當(dāng)a≠2時.B={1.a-1}． 先求實數(shù)a的可能取值: 當(dāng)a=2.即B={1}時.不滿足BA.故a≠2, 當(dāng)B={1.a-1}.即a≠2時.由BA.得a-1≠2.于是a≠3． 其次求實數(shù)b的可能取值: 對于方程x2-bx+2=0.其判別式 ⊿=b2-8． 當(dāng)⊿<0.即時.方程x2-bx+2=0無解.C=.顯然滿足題設(shè), 當(dāng)⊿=0.即b= 時.方程x2-bx+2=0的解為x=.C＝{}.即C={}(當(dāng)b=)或C={}(當(dāng)b=).此時.不能滿足C?A.故b≠, 當(dāng)⊿>0.即或時.方程x2-bx+2=0有兩個不等實數(shù)根..于是C={.}．若C?A.則必有1∈C或2∈C．但·=2.故.均不能為1或2.從而此種情形下無解． 故滿足條件的實數(shù)a與b均存在.且a∈R.a≠2.3.． [點悟]①解題關(guān)鍵點是弄清每一個集合中的元素.理清集合間的關(guān)系.正確合理使用題中所給信息.對問題所及方面進行正確的分類． ②解題技巧是對集合A.B與C的化簡及對集合A與B的分別求解． ③解題易錯點是忽視對集合元素的互異性的檢驗.遺漏空集是任何非空集合的真子集的情形.忽視對集合B的元素個數(shù)是一個還是兩個的討論． [例9]設(shè)集合A={x∣x2+px+1=0}.B={ x∣x >0}.當(dāng)A∩B=.求實數(shù)p的取值范圍． [分析]利用根的判別式與0的大小關(guān)系分A為空集和非空集的情況討論求解． [解]因 A∩B=.故 A=或A中的元素只有非正數(shù)． 若A=.則⊿=p2-4<0.解得 -2< p<2, 若A中的元素只有非正數(shù).則 ⊿≥0且= -p≤0..解得 p≥2． 于是實數(shù)p的取值范圍為p>-2． [點悟]①解題關(guān)鍵點是將集合語言準(zhǔn)確地翻譯成文字語言.即轉(zhuǎn)換成一種更為直觀淺顯的條件． ②解題規(guī)律是對于含有參數(shù)的一元二次方程根的情況可使用判別式法進行討論求之． ③解題易錯點是忽視A=的情況.引起失解.縮小p的取值范圍． [例10]已知集合P=． (1)若P中只有一個元素.試求a的值.并把這個元素寫出來, (2)若P中至多只有一個元素.試求a的取值范圍． [分析]x2前的系數(shù)為a.它在變化.故須對a進行討論:它可能是一元一次方程.也可能是一元二次方程,它可能有實數(shù)根.也可能無實數(shù)根． [解]集合P表示方程在實數(shù)范圍內(nèi)的解的集合． (1)當(dāng)時.⊿=.a =4.方程有兩個相等的實數(shù)根.P中只有一個元素,當(dāng)a=0時.方程為一元一次方程.方程只有唯一解．故當(dāng)P中只有一個元素時.a=4或0．當(dāng)a=4時.元素為,當(dāng)a=0時.元素為． (2)P中至多只有一個元素.包含P為空集和P中只有一個元素兩種情形．當(dāng)P為空集時.由及⊿=解得a>4.從而a的取值范圍為或a=0． [點悟]①解題關(guān)鍵點是正確審題.搞清“只有一個 與“至多只有一個 的真正含義并注意它們的區(qū)別.注意參數(shù)a所在的位置(這里的a在二次項系數(shù)前.因而方程未必為二次的)對解題的影響． ②解題規(guī)律是根的判別式⊿只適用于實系數(shù)一元二次方程根的討論． ③解題易錯點是混淆“空集是不含任何元素的集合 的概念.從而遺漏對空集情況的檢驗討論,另一方面容易忽視對方程次數(shù)即a=0的情況的討論． 【查看更多】

 

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