2．不直接作出所求之距離.間接求之． (1)利用二面角的平面角． 課本P．42第4題.P．46第2題.第4題給出了“二面角一個面內(nèi)的一個點.它到棱的距離.到另一個面的距離與二面角的大小之間所滿足的關(guān)系 ．如圖2.二面角M-CD-N的大小為α.A∈M.AB⊥CD.AB＝a.點A到平面N的距離AO＝d. 則有d＝asinα． ① ①中的α也就是二面角的大小.而并不強求要作出經(jīng)過AB的二面角的平面角． 解法2．如圖3.過B作BP⊥EF.交FE的延長線于P.易知BP＝.這就是點B到二面角C-EF-G的棱EF的距離．連結(jié)AC交EF于H.連結(jié)GH.易證∠GHC就是二面角C-EF-G的平面角．∵ GC＝2.AC＝4.AH＝.∴ CH＝3.GH＝.sin∠GHC＝2/.于是由①得所求之距離d＝BP·sin∠GHC＝· ＝．解略． (2)利用斜線和平面所成的角． 如圖4.OP為平面α的一條斜線.A∈OP.OA＝l.OP與α所成的角為θ.A到平面α的距離為d.則由斜線和平面所成的角的定義可知.有d＝lsinθ．② 經(jīng)過OP與α垂直的平面與α相交.交線與OP所成的銳角就是②中的θ.這里并不強求要作出點A在α上的射影B.連結(jié)OB得θ． 解法3．如圖5.設(shè)M為FE與CB的延長線的交點.作BR⊥GM.R為垂足．又GM⊥EB.易得平面BER⊥平面EFG.ER為它們的交線.所以∠REB就是EB與平面EFG所成的角θ．由△MRB∽△MCG.可得BR＝.在Rt△REB中.∠B＝90°.BR＝.EB＝2.所以sinθ＝BR/ER＝.于是由②得所求之距離d＝． 圖5 圖6 (3)利用三棱錐的體積公式． 解法4．如圖6.設(shè)點B到平面EFG的距離為d.則三棱錐B-EFG的體積V＝(1/3)S△EFG·d．另一方面又可得這個三棱錐的體積V＝(1/3)S△FEB·CG.可求得S△FEB＝(1/4)S△DAB＝2.S△EFG＝.所以有1/3··d＝1/3·2·2.得d＝． 二.不經(jīng)過該點間接確定點到平面的距離 1．利用直線到平面的距離確定 解法5．如圖7.易證BD∥平面EFG.所以BD上任意一點到平面EFG的距離就是點B到平面EFG的距離．由對稱思想可知.取BD中點O.求點O到平面EFG的距離較簡單．AC交EF于H.交BD于O．易證平面GHC⊥平面EFG.作OK⊥HG.K為垂足.OK＝為所求之距離． 圖7 圖8 【查看更多】

 

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