解: (1) 將條件變?yōu)?1-＝.因此{(lán)1-}為一個(gè)等比數(shù)列.其首項(xiàng)為 1-＝.公比.從而1-＝.據(jù)此得an＝----1° (2) 證:據(jù)1°得.a1·a2·-an＝ 為證a1·a2·--an<2·n! 只要證nÎN*時(shí)有>----2° 顯然.左端每個(gè)因式都是正數(shù).先證明.對(duì)每個(gè)nÎN*.有 ³1-()----3° 用數(shù)學(xué)歸納法證明3°式: (i) n＝1時(shí).3°式顯然成立. (ii) 設(shè)n＝k時(shí).3°式成立. 即³1-() 則當(dāng)n＝k+1時(shí). ³(1-())·() ＝1-()-+() ³1-(+)即當(dāng)n＝k+1時(shí).3°式也成立. 故對(duì)一切nÎN*.3°式都成立. 利用3°得.³1-()＝1- ＝1-> 故2°式成立.從而結(jié)論成立. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

(1)已知sin＋cos＝(0＜＜π)，求tan及sin3－cos3的值．

(2)在上面的題目中，直接給出了已知sinα±cosα的值，然后利用sinα±cosα與sinα·cosα的關(guān)系使題目得到解決．本題也可以變換條件，由于sinα、cosα和差與積有一定的關(guān)系，因此，也可以將它們與一元二次方程聯(lián)系在一起．例如：關(guān)于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的兩根為sinα和cosα，且α∈(0，2π)，

(1)求＋的值；

(2)求m的值；

(3)求方程的兩根及此時(shí)的角α．

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雞兔同籠

　　你以前聽(tīng)說(shuō)過(guò)“雞兔同籠”問(wèn)題嗎？這個(gè)問(wèn)題，是我國(guó)古代著名趣題之一．大約在1 500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)有趣的問(wèn)題．書(shū)中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何？”這四句話(huà)的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳．求籠中各有幾只雞和兔？

　　你會(huì)解答這個(gè)問(wèn)題嗎？你想知道《孫子算經(jīng)》中是如何解答這個(gè)問(wèn)題的嗎？

　　解答思路是這樣的：假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨(dú)角雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”．這樣，(1)雞和兔的腳的總數(shù)就由94只變成了47只；(2)如果籠子里有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多1．因此，腳的總只數(shù)47與總頭數(shù)35的差，就是兔子的只數(shù)，即47－35＝12(只)．顯然，雞的只數(shù)就是35－12＝23(只)了．

　　這一思路新穎而奇特，其“砍足法”也令古今中外數(shù)學(xué)家贊嘆不已．這種思維方法叫化歸法．

　　化歸法就是在解決問(wèn)題時(shí)，先不對(duì)問(wèn)題采取直接的分析，而是將題中的條件或問(wèn)題進(jìn)行變形，使之轉(zhuǎn)化，直到最終把它歸成某個(gè)已經(jīng)解決的問(wèn)題．

1．古代《孫子算經(jīng)》就有這么好的解法——化歸法，這一思路新穎而奇特，其“砍足法”也令古今中外數(shù)學(xué)家贊嘆不已．對(duì)此，談?wù)勀愕目捶ǎ?/P>

2．我國(guó)古代數(shù)學(xué)研究一直處于領(lǐng)先地位，現(xiàn)在有所落后了，對(duì)此，我們不應(yīng)只感嘆古人的偉大，而更應(yīng)該樹(shù)立為科學(xué)而奮斗終身的信心，同學(xué)們，你們準(zhǔn)備好了嗎？

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