(本小題滿分12分) 在三棱柱中，底面是邊長為的正三角形，點(diǎn)在底面上的射影恰是中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）當(dāng)側(cè)棱和底面成角時(shí)， 求

（Ⅲ）若為側(cè)棱上一點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，．

(本小題滿分12分)如圖，已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側(cè)棱長為2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是A A₁的中點(diǎn)． （Ⅰ）求異面直線AB和C₁D所成的角（用反三角函數(shù)表示）；（Ⅱ）若E為AB上一點(diǎn)，試確定點(diǎn)E在AB上的位置，使得A₁E⊥C₁D；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點(diǎn)D到平面B₁C₁E的距離．

(本小題滿分12分)

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1,且AB⊥AC，M是CC₁的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線A₁B₁上，且滿足

(1)證明：PN⊥AM

(2)若，求直線AA₁與平面PMN所成角的正弦值.

(本小題滿分12分）

如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1，側(cè)面BCC1B1丄底面ABC.

(I)若M、N分別是AB,A1C的中點(diǎn)，求證:MN//平面BCC1B1

(II)若三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均為2，側(cè)棱BB1與底面 ABC所成的角為60°.問在線段A1C1上是否存在一點(diǎn)P，使得平面B1CP丄平面ACC1A1，若存在，求C1P與PA1的比值，若不存在，說明 理由.