在m個(gè)不同數(shù)的排列P1P2-Pn中.若1≤i＜j≤m時(shí)Pi＞Pj(即前面某數(shù)大于后面某數(shù)).則稱Pi與Pj構(gòu)成一個(gè)逆序. 一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù). 記排列的逆序數(shù)為an.如排列21的逆序數(shù).排列321的逆序數(shù).(Ⅰ)求a4.a5.并寫出an的表達(dá)式,(Ⅱ)令.證明.n=1,2,-. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分14分）

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)已知兩點(diǎn)A(-1,0)、B(1,0),若將動點(diǎn)P(x,y)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的倍后得到點(diǎn)Q(x,y),且滿足·=1.

(1)求動點(diǎn)P所在曲線C的方程；

(2)過點(diǎn)B作斜率為-的直線L交曲線C于M、N兩點(diǎn)，且++=，試求△MNH的面積.

 

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（本小題滿分14分）在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=AA1=1，D、E分別為棱AB、BC的中點(diǎn)，M為棱AA1上的點(diǎn)。

  

（1）證明：A1B1⊥C1D；

   （2）當(dāng)的大小。

 

 

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（本小題滿分14分）
在ABC中角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足（2a-c）cosB=bcosC
(1)求角B的大小；
(2設(shè)向量m= (sinA,cos2A),n=(k,1)，且mn＞1恒成立，求k的取值范圍.

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（本小題滿分14分）

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)A（1，0），B（0，—2），點(diǎn)C滿足，其中，且，

（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)C的軌跡與雙曲線（a>0，b>0）相交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求證：為定值；

（3）在（2）的條件下，若雙曲線的離心率不大于，求雙曲線實(shí)軸長的取值范圍。

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（本小題滿分14分）

       在平面直角坐標(biāo)系xOy上，給定拋物線L:．實(shí)數(shù)p，q滿足，x1，x2是方程的兩根，記。

（1）過點(diǎn)作L的切線教y軸于點(diǎn)       B．證明：對線段AB上任一點(diǎn)Q（p，q）有

（2）設(shè)M（a，b）是定點(diǎn)，其中a，b滿足a2-4b>0,a≠0．過M（a，b）作L的兩條切線，切點(diǎn)分別為，與y軸分別交與F,F'。線段EF上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)集記為X．證明：M（a,b） X;

（3）設(shè)D={ （x,y）|y≤x-1,y≥（x+1）2-}．當(dāng)點(diǎn)（p,q）取遍D時(shí)，求的最小值 （記為）和最大值（記為）．

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1－10：DCDAABCBCDC

11., 12. 85, 13. 5 ,14. 6 ,15. -3 .

 

 

1．函數(shù)的定義域是，解得x≥1，選D.

2．向量若時(shí)，∥，∴ ；時(shí)，，，選C.

3．的展開式中的系數(shù)=x3， 則實(shí)數(shù)的值是2，選D

4．過半徑為2的球O表面上一點(diǎn)A作球O的截面，若OA與該截面所成的角是60°，則截面圓的半徑是R=1，該截面的面積是π，選A.

5．若“”，則函數(shù)=在區(qū)間上為增函數(shù)；而若在區(qū)間上為增函數(shù)，則0≤a≤1，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件，選A.

6．在數(shù)字1，2，3與符號“＋”，“－”五個(gè)元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有種排法，再將“＋”，“－”兩個(gè)符號插入，有種方法，共有12種方法，選B.

7．圓的圓心為(2，2)，半徑為3，圓心到到直線的距離為>3，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是2R =6，選C.

8．設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)的圖象C的一個(gè)對稱中心，若點(diǎn)P到圖象C的對稱軸上的距離的最小值，∴ 最小正周期為π，選B.

9．過雙曲線的左頂點(diǎn)(1，0)作斜率為1的直線：y=x－1, 若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點(diǎn),  聯(lián)立方程組代入消元得，∴ ，x1+x2=2x1x2，又,則B為AC中點(diǎn)，2x1=1+x2，代入解得，∴ b2=9，雙曲線的離心率e=，選D.

10．如圖，OM∥AB，點(diǎn)P由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）.且，

由圖知，x<0，當(dāng)x=－時(shí)，即=－，P點(diǎn)在線段DE上，=，=，而<<，∴ 選C.

二．填空題：

11.； 12. 85；  13. 5 ；  14. 6 ；  15. －3 .

11．?dāng)?shù)列滿足：，2，3…，該數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，∴ .

12．某高校有甲、乙兩個(gè)數(shù)學(xué)建模興趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 現(xiàn)分析兩個(gè)班的一次考試成績，算得甲班的平均成績是90分，乙班的平均成績是81分，則該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績是分.

13．已知，如圖畫出可行域，得交點(diǎn)A(1，2)，B(3，4)，則的最小值是5.

 

14．過三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有6條。

15．是偶函數(shù)，取a=－3，可得為偶函數(shù)。

 

 

16. 解　由已知條件得.

即.

解得.

由0＜θ＜π知，從而.

17. 解�。á瘢┟考颐旱V必須整改的概率是1－0.5，且每家煤礦是否整改是相互獨(dú)立的. 所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是.

（Ⅱ）解法一　某煤礦被關(guān)閉，即該煤礦第一次安檢不合格，整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，所以該煤礦被關(guān)閉的概率是，從而煤礦不被關(guān)閉的概率是0.90.

解法二　某煤礦不被關(guān)閉包括兩種情況：（i）該煤礦第一次安檢合格；（ii）該煤礦第一次安檢不合格，但整改后合格.

所以該煤礦不被關(guān)閉的概率是.

(Ⅲ)由題設(shè)（Ⅱ）可知，每家煤礦不被關(guān)閉的概率是0.9，且每家煤礦是否被關(guān)閉是相互獨(dú)立的，所以到少關(guān)閉一家煤礦的概率是.

18. 解法一　（Ⅰ）連結(jié)AC、BD，設(shè).

由P－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.

從而P、O、Q三點(diǎn)在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD.

（Ⅱ）由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.

由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD. 故可分別以直線CA、DB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是P（0，0，2），A（，0，0），Q（0，0，－2），B（0，，0）.

所以

于是.

從而異面直線AQ與PB所成的角是.

(Ⅲ)由（Ⅱ），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，－，0），，             

，設(shè)是平面QAD的一個(gè)法向量，由

得.

取x=1，得.

所以點(diǎn)P到平面QAD的距離.

解法二�。á瘢┤D的中點(diǎn)，連結(jié)PM，QM.

因?yàn)镻－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，

所以AD⊥PM，AD⊥QM. 從而AD⊥平面PQM.

又平面PQM，所以PQ⊥AD.

同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.

（Ⅱ）連結(jié)AC、BD設(shè)，由PQ⊥平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在PQ上，從而P、A、Q、C四點(diǎn)共面.

因?yàn)镺A＝OC，OP＝OQ，所以PAQC為平行四邊形，AQ∥PC.

從而∠BPC（或其補(bǔ)角）是異面直線AQ與PB所成的角.

因?yàn)椋?/p>

所以.

從而異面直線AQ與PB所成的角是.

(Ⅲ)連結(jié)OM，則.

所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ.

由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD. 從而PM的長是點(diǎn)P到平面QAD的距離.

在直角△PMO中，.

即點(diǎn)P到平面QAD的距離是.

19. 解　（Ⅰ）由題設(shè)知.

令.

當(dāng)（i）a>0時(shí)，

若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；

若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；

若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；

（i i）當(dāng)a＜0時(shí)，

若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；

 

若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；

若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；

若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù).

（Ⅱ）由（Ⅰ）的討論及題設(shè)知，曲線上的兩點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)為函數(shù)的極值，且函數(shù)在處分別是取得極值，.

因?yàn)榫�段AB與x軸有公共點(diǎn)，所以.

即.所以.

故.

解得�。�1≤a＜0或3≤a≤4.

即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，0)∪[3，4].

20. 解�。á瘢┯梢阎茫�

　　.

    （Ⅱ）因?yàn)椋?/p>

　　　　　所以.

          又因?yàn)椋?/p>

　　　　　所以

　　　　　　　　　　　　　 =.

          綜上，.

21. 解　（Ⅰ）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱，所以m＝0，直線AB的方程為

    x=1，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）或（1，－）.

    因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以，即.

    此時(shí)C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），該焦點(diǎn)不在直線AB上.

   （Ⅱ）解法一　當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為.

由消去y得.           ……①

設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）,

則x1,x2是方程①的兩根，x1＋x2＝.

因?yàn)锳B既是過C1的右焦點(diǎn)的弦，又是過C2的焦點(diǎn)的弦，

所以，且

.

從而.

所以，即.

解得.

因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上，所以.

即.

當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為；

當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為.

解法二　當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程

為.

由消去y得.          　　　　　　　 ……①

因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上，

所以，即.代入①有.

即.                                     ……②

設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）,

則x1,x2是方程②的兩根，x1＋x2＝.

由消去y得.           　　……③

 

由于x1,x2也是方程③的兩根，所以x1＋x2＝.

從而＝. 解得.

因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上，所以.

即.

當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為；

當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為.

 解法三　設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）,

因?yàn)锳B既過C1的右焦點(diǎn)，又是過C2的焦點(diǎn)，

所以.

即.                                         ……①

由（Ⅰ）知，于是直線AB的斜率，　　 ……②

且直線AB的方程是,

所以.                                ……③

又因?yàn)椋?         ……④

將①、②、③代入④得，即.

當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為；

當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為.

 

 

 

 

 

 

 


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