中的x1.x2.不等式 成立.求a的取值范圍. 得分評卷人 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f（x）=lnx-
1
2
ax2+bx（a＞0），且f′（1）=0
（1）試用含有a的式子表示b，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的最大值為g（a），試證明不等式：g（a）＞ln（1+
a
2
）-1
（3）首先閱讀材料：對于函數(shù)圖象上的任意兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)圖象上存在點M（x0，y0）（x0∈（x1，x2）），使得f（x）在點M處的切線l∥AB，則稱AB存在“相依切線”特別地，當x0=
x1+x2
2
時，則稱AB存在“中值相依切線”．請問在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在兩點A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切線”？若存在，求出一組A、B的坐標；若不存在，說明理由．

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已知函數(shù)f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe1-x．
（1）求函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，e]上的值域T；
（2）是否存在實數(shù)a，對任意給定的集合T中的元素t，在區(qū)間[1，e]上總存在兩個不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=t成立、若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（3 ）函數(shù)f（x）圖象上是否存在兩點A（x1，y1）和B（x2，y2），使得割線AB的斜率恰好等于函數(shù)f（x）在AB中點M（x0，y0）處切線的斜率？請寫出判斷過程．

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已知函數(shù)f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe1-x．
（1）求函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，e]上的值域T；
（2）是否存在實數(shù)a，對任意給定的集合T中的元素t，在區(qū)間[1，e]上總存在兩個不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=t成立、若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（3 ）函數(shù)f（x）圖象上是否存在兩點A（x1，y1）和B（x2，y2），使得割線AB的斜率恰好等于函數(shù)f（x）在AB中點M（x0，y0）處切線的斜率？請寫出判斷過程．

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若數(shù)列{an}滿足an+2+pan+1+qan=0（其中p2+q2≠0，且p、q為常數(shù)）對任意n∈N*都成立，則我們把數(shù)列{an}稱為“L型數(shù)列”．
（1）試問等差數(shù)列{an}、等比數(shù)列{bn}（公比為r）是否為L型數(shù)列？若是，寫出對應(yīng)p、q的值；若不是，說明理由．
（2）已知L型數(shù)列{an}滿足an+1+pan+qan-1=0（n≥2，n∈N*，p2-4q＞0，q≠0），x1、x2是方程x2+px+q=0的兩根，若b-axi≠0（i=1，2），求證：數(shù)列{an+1-xian}（i=1，2，n∈N*）是等比數(shù)列（只選其中之一加以證明即可）．
（3）請你提出一個關(guān)于L型數(shù)列的問題，并加以解決．（本小題將根據(jù)所提問題的普適性給予不同的分值，最高10分）

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已知函數(shù)f(x)=mx3+nx2(m、n∈R ,m≠0)的圖像在（2，f(2)）處的切線與x軸平行.

（1）求n,m的關(guān)系式并求f(x)的單調(diào)減區(qū)間；

（2）證明：對任意實數(shù)0<x1<x2<1, 關(guān)于x的方程：

在（x1,x2）恒有實數(shù)解

（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f(x)是在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點x0，使得.如我們所學(xué)過的指、對數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理條件.試用拉格朗日中值定理證明：

當0<a<b時，（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）

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一.選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

                                                                

（1）A            （2）D            （3） B           （4） D

（5）D            （6）A            （7） B           （8） C

 

二.填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

   （9） (1，-1)     （10），   （11） 2     （12）R ，R

（13） 2          （14） 

三.解答題（本大題共6小題，共80分）

15. 解：（Ⅰ）.      ………………………………3分

又，cosC=>0，

故在中，、是銳角.  ∴，.

∴.    ……………………7分

（Ⅱ） .           ……………………10分

由正弦定理 .      解得，c=6.

∴.     ∴，即AC=5 .     ……………………13分

 

16. 解：（I）依條件得 ，     ……………………2分

解得.                       …………………………………………4分

所以an=3+(n-1)=n+2.                 …………………………………………6分

  （II）Pn=， b6=2×26-1=64，

     由>64得n2+5n-128>0.                 ………………………………9分

所以n(n+5)>128.

因為n是正整數(shù)，且n=9時，n(n+5)=126，且n(n+5)是遞增的，

所以當n≥10時，n(n+5)>128.

即n≥10時，Pn> b6.           …………………………………………………13分

 

 

17. 解：（I）甲答對試題數(shù)的可能取值為0、1、2、3.

∵，，

，，      …………………………4分

∴ 甲答對試題數(shù)的概率分布如下：

0

1

2

3

P

故甲答對試題數(shù)的數(shù)學(xué)期望為

.            …………………………7分

（II）設(shè)甲、乙兩人通過測試的事件分別為A、B，則

，

.              …………………………………………9分

、B相互獨立，

∵甲、乙兩人都未通過測試的概率為

.    ……………………………11分

∴甲、乙兩人至少有一個通過測試的概率為

.          ………………………………………13分

 

18. （Ⅰ）解：∵正三棱柱中AC∥A1C1，

∴∠CAD是異面直線AD與A1C1所成的角.             …………………………2分

 連結(jié)CD，易知AD=CD=a，AC= a，

在△ACD中易求出cos∠CAD=.

因此異面直線AD與A1C1所成的角的余弦值為.      …………………………4分

（Ⅱ）證明：

∵D是B1B的中點，

∴△C1B1D≌△ABD.

∴AD= C1D.

于是△ADC1是等腰三角形.

∵E是AC1的中點，

∴DE⊥AC1.    ……………………6分

設(shè)AC的中點為G，

∴EG∥C1C∥DB，EG=C1C= DB.

∴四邊形EGBD是平行四邊形.

∴ED∥GB.

∵G是AC的中點，且AB=BC，

∴GB⊥AC.

∴ED⊥AC.

∵AC∩AC1=A，

∴ED⊥平面ACC1A1.           …………………………………………………8分

（或證ED∥GB，GB⊥平面ACC1A1得到ED⊥平面ACC1A1.）

 

（Ⅲ）解：∵C1D，CB共面，

故C1D，CB必相交，設(shè)交點為F，連結(jié)AF.

∴平面ADC1與平面ABC所成二面角是C-AF-C1.      ………………………………10分

∵DB=C1C ，DB∥C1C，

∴B是CF的中點.

∴AC=CB=BF= a.

在△ACF中，由余弦定理可求出AF=a.

∴易判斷出△ACF是直角三角形，即AC⊥AF.

∵C1C⊥面ACF ，

∴AC1⊥AF.

∴∠C1AC是所求二面角的平面角.           …………………………………………12分

∵tan∠C1AC==2，

∴平面ADC1與平面ABC所成二面角的大小是arctan2（或arccos）. …………13分

 

19. 解：（Ⅰ）∵，

∴.                   ……………………………………3分

令得，=0.

，

∴方程有兩個不同的實根、.

令，由可知：

當時，；

當；

當；

∴是極大值點，是極小值點.             ……………………………………7分

（Ⅱ），

所以得不等式.

即.  ………10分

又由（Ⅰ）知，

代入前面的不等式，兩邊除以（1+a），

并化簡得，解之得：，或（舍去）.

所以當時，不等式成立.           …………………………14分

 

20. 解：(Ⅰ)∵|

∴.           …………………………………………………2分

由， .

由（1）、（2）可知點P到直線x=，

再由橢圓的第二定義可知，點P的軌跡C是橢圓.        …………………………4分

設(shè)橢圓C的方程為：， 

由（3）可知b =1，∴a2=b2+c2=1+2=3.

  ∴橢圓C的方程為: .                 …………………………………5分

（Ⅱ）假設(shè)存在符合條件的直線l，并設(shè)l的方程為:y=kx+m，M(x1，y1)、N(x2，y2)，

     .

   則x1+x2= -.  ………………7分

   Δ=36 k2m2-12(m2-1)(1+3k2)=12[3k2-m2+1]＞0     ①

 

 設(shè)線段MN的中點G(x0，y0)，　

   x0=，

線段MN的垂直平分線的方程為：y -.

∵|， ∴線段MN的垂直平分線過B（0，-1）點.

∴-1-.     ∴m=.      ②     ………9分

②代入①，得3k2 -(.   ③

∵|的夾角為60°，∴△BMN為等邊三角形.

∴點B到直線MN的距離d=.                …………………………10分

∵,

又∵|MN|=

=

=,

∴.              …………………………13分

解得k2=，滿足③式.  代入②，得m=.

直線l的方程為：y=.      ……………………………………………14分


同步練習(xí)冊答案