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青年歌手電視大賽共有10名選手參加，并請了7名評委，如圖所示的莖葉圖是7名評委給參加最后決賽的兩位選手甲、乙評定的成績，流程圖用來編寫程序統(tǒng)計(jì)每位選手的成績(各評委所給有效分?jǐn)?shù)的平均值)，試根據(jù)所給條件回答下列問題：
(1) 根據(jù)莖葉圖，選手乙的成績中，眾數(shù)是多少？選手甲的成績中，中位數(shù)是多少？

(2) 在流程圖(如圖所示)中，用k表示評委人數(shù)，用a表示選手的成績(各評委所給有效分?jǐn)?shù)的平均值)．橫線①、②處應(yīng)填什么？
(3) 根據(jù)流程圖，甲、乙的成績分別是多少？

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青少年“心理健康”問題已引起了全社會(huì)的關(guān)注，學(xué)校對此問題極為重視、對全校600名學(xué)生進(jìn)行了一次“心理健康”知識(shí)測試，并從中抽取了部分學(xué)生的成績（得分取正數(shù)，滿分100分）作為樣本，繪制了下面尚為完成的頻率分布直方表．
請回答下列問題：
（1）填寫頻率分布直方表中的空格；
（2）若成績在90分以上（不含90分）為優(yōu)秀，試估計(jì)該校成績優(yōu)秀的有

 

人．

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一、ABCBD  BCABD

二、11.2    12.     13.4    14.10    15. ①②③

三、16. 解：（1），             3分

由已知，得．         6分

（2）由（1）得，      8分

當(dāng)時(shí)，的最小值為，             10分

由，得值的集合為．   13分

17. 解：（I）取AB的中點(diǎn)O，連接OP，OC      PA=PB   POAB

    又在中，，

    在中，，又，故有

         又， 面ABC       4分

      又  PO面PAB，面PAB面ABC              6分

（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別以O(shè)B，OC，OP為軸，軸，軸建立坐標(biāo)系，

如圖，則A   8分

 設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為。

            得

  令，則     11分

設(shè)直線PB與平面PAC所成角為 ，

于是     13分

18. 解：（1）；                4分

（2）消費(fèi)總額為1500元的概率是：                 5分

消費(fèi)總額為1400元的概率是：    6分

消費(fèi)總額為1300元的概率是：

＝，

所以消費(fèi)總額大于或等于1300元的概率是；              8分

（3），

，

＝

。所以的分布列為：

0

1

2

3

0.294

0.448

0.222

0.036

數(shù)學(xué)期望是：。       13分

19. 解：∵的右焦點(diǎn) 

∴橢圓的半焦距，又，

∴橢圓的， .橢圓方程為.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，故橢圓方程為，      3分

（Ⅱ）依題意設(shè)直線的方程為：，

聯(lián)立  得點(diǎn)的坐標(biāo)為.      4分

將代入得.

設(shè)、，由韋達(dá)定理得，.   5分

又，.

                7分

有實(shí)根， ∴點(diǎn)可以在圓上.        8分

（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)，

由解得：.     10分

∴，，又.即的邊長分別是、、 .時(shí)，能使的邊長是連續(xù)的自然數(shù)。      13分

20. 解：（1）．                    1分

  　當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；                2分

當(dāng)，時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

時(shí)，，在上單調(diào)遞增．            3分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．                     4分

（2）充分性：時(shí)，由（1）知，在x=1處有極小值也是最小值，

即。而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以在上有唯一的一個(gè)零點(diǎn)x=1．                    6分

必要性：若函數(shù)f(x)存在唯一零點(diǎn)，即方程=0在上有唯一解，

因, 由（1）知，在處有極小值也是最小值f(a)，

 f(a)=0,即．                        7分

令， ．

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞減。，=0只有唯一解．

因此=0在上有唯一解時(shí)必有．

綜上：在時(shí)， =0在上有唯一解的充要條件是．    9分

（3）證明：∵1<x<2, ∴.

 令，∴，11分

由（1）知，當(dāng)時(shí)，，∴，

∴．∴，                      12分

∴F（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，∴，

∴�！�．             14分

21. （Ⅰ）解：考慮在矩陣作用下，求出變換后的三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得三角形的面積，可先求得，由＝，得點(diǎn)在矩陣作用下變換所得到的點(diǎn)，同理求得在矩陣作用下變換所得到的點(diǎn)分別是，，計(jì)算得△的面積為3．                7分

（Ⅱ）解：直線的極坐標(biāo)方程，則，

    即，所以直線的直角坐標(biāo)方程為；     2分

設(shè)，其中，則P到直線的距離

，其中，∴ 當(dāng)時(shí)，的最大值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為。         7分

（Ⅲ）解：由柯西不等式，得，    2分

即．由條件，得．解得，  2分

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立．代入時(shí)，；時(shí)，．所以，的取值范圍是．            7分