已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F₁、F₂在x軸上的橢圓E經(jīng)過點(diǎn)C（2，2），且拋物線的焦點(diǎn)為F₁.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時(shí)，求直線l的方程和圓P的方程.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。第一問中，設(shè)出橢圓的方程，然后結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得到，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921190757897157/SYS201206192120259226615718_ST.files/image003.png">，這樣可知得到。第二問中設(shè)直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到

，再利用可以結(jié)合韋達(dá)定理求解得到m的值和圓p的方程。

解：(Ⅰ)設(shè)橢圓E的方程為

①………………………………1分

  ②………………２分

  ③       由①、②、③得a²=12,b²=6…………3分

所以橢圓E的方程為…………………………4分

(Ⅱ)依題意，直線OC斜率為1，由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m，……………5分

 代入橢圓E方程，得…………………………6分

………………………7分

、………………8分

………………………9分

……………………………10分

    當(dāng)m=3時(shí)，直線l方程為y=-x+3，此時(shí)，x₁ +x₂=4，圓心為（2，1），半徑為2，

圓P的方程為（x-2）²+(y-1)²=4；………………………………11分

同理，當(dāng)m=－3時(shí)，直線l方程為y=-x－3，

圓P的方程為（x+2）²+(y+1)²=4

 

已知點(diǎn)（）,過點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為、（其中）．

（Ⅰ）若，求與的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，求圓的方程；

（Ⅲ）若直線的方程是，且以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，

求圓面積的最小值．

【解析】本試題主要考查了拋物線的的方程以及性質(zhì)的運(yùn)用。直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

中∵直線與曲線相切，且過點(diǎn)，∴，利用求根公式得到結(jié)論先求直線的方程，再利用點(diǎn)P到直線的距離為半徑，從而得到圓的方程。

（3）∵直線的方程是，，且以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切∴點(diǎn)到直線的距離即為圓的半徑，即，借助于函數(shù)的性質(zhì)圓面積的最小值

（Ⅰ）由可得，．  ------1分

∵直線與曲線相切，且過點(diǎn)，∴，即，

∴，或， --------------------3分

同理可得：，或----------------4分

∵，∴，． -----------------5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,，則的斜率，

∴直線的方程為：，又，

∴，即． -----------------7分

∵點(diǎn)到直線的距離即為圓的半徑，即，--------------8分

故圓的面積為． --------------------9分

（Ⅲ）∵直線的方程是，，且以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切∴點(diǎn)到直線的距離即為圓的半徑，即，    ………10分

∴

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)．

故圓面積的最小值．

 

如圖，已知直線（）與拋物線：和圓：都相切，是的焦點(diǎn)．

（Ⅰ）求與的值；

（Ⅱ）設(shè)是上的一動(dòng)點(diǎn)，以為切點(diǎn)作拋物線的切線，直線交軸于點(diǎn)，以、為鄰邊作平行四邊形，證明：點(diǎn)在一條定直線上；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記點(diǎn)所在的定直線為，    直線與軸交點(diǎn)為，連接交拋物線于、兩點(diǎn)，求△的面積的取值范圍．

【解析】第一問中利用圓： 的圓心為，半徑．由題設(shè)圓心到直線的距離．  

即，解得（舍去）

設(shè)與拋物線的相切點(diǎn)為，又，得，．     

代入直線方程得：，∴    所以，

第二問中，由（Ⅰ）知拋物線方程為，焦點(diǎn)．   ………………（2分）

設(shè)，由（Ⅰ）知以為切點(diǎn)的切線的方程為．   

令，得切線交軸的點(diǎn)坐標(biāo)為    所以，，    ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形

∴ 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911460473385651/SYS201207091146532963151648_ST.files/image007.png">是定點(diǎn)，所以點(diǎn)在定直線

第三問中，設(shè)直線，代入得結(jié)合韋達(dá)定理得到。

解：（Ⅰ）由已知，圓： 的圓心為，半徑．由題設(shè)圓心到直線的距離．  

即，解得（舍去）．     …………………（2分）

設(shè)與拋物線的相切點(diǎn)為，又，得，．     

代入直線方程得：，∴    所以，．      ……（2分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線方程為，焦點(diǎn)．   ………………（2分）

設(shè)，由（Ⅰ）知以為切點(diǎn)的切線的方程為．   

令，得切線交軸的點(diǎn)坐標(biāo)為    所以，，    ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形，

∴ 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911460473385651/SYS201207091146532963151648_ST.files/image007.png">是定點(diǎn)，所以點(diǎn)在定直線上．…（2分）

（Ⅲ）設(shè)直線，代入得，  ……）得，                 ……………………………     （2分）

，

．△的面積范圍是