①第k行的第r個數(shù)為, ②第k行的所有數(shù)之和是第k-1行所有數(shù)之和的 2倍, ③前k行所有數(shù)之和是2k, ④從第k行起.將每行的第r-1個數(shù)與r個數(shù)作比. 把這些比值順次排列.可構(gòu)成等差數(shù)列. 其中正確結(jié)論的編號是 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f(x)=ex-ax，其中a＞0.

（1）若對一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈（x1,x2）,使恒成立.

【解析】解：令.

當(dāng)時單調(diào)遞減；當(dāng)時單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取最小值

于是對一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).　　　　　　　�、�

令則

當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.

故當(dāng)時，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.故當(dāng)，即

從而，又

所以因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使即成立.

【點評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運(yùn)算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合；第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

 

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

B

理C

文B

C

理D

文B

C

A

B

D

C

理A

文C

B

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13．                        14．11                     15．（理）（文）16．②④

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

    驟。

17．本小題滿分10分

       解：（1）由余弦定理及已知條件得，                                  1分

       ∵                          3分

       ∴                                               5分

   （2）由正弦定理及已知條件得，b=2a                                                               7分

       聯(lián)立方程組                                   9分

       ∴△ABC的周長為                                          10分

18．本小題滿分12分

       解：（1）記“該參賽者恰好連對一條線”為事件A。

       則                                                            （理）4分（文）6分

   （2）（理科）的所有可能取值為-4、0、4、12                                              5分

      

                                                                                           9分

       的分布列為

-4

0

4

12

3/8

1/3

1/4

1/24

       E=                                                       12分

   （文科）該參賽者所有可能得分為-4、0、4、12.                                               7分

       得0分的概率為                                                                    8分

       得4分的概率為                                                                     9分

       得12分的概率為                                                                     10分

       ∴該參賽者得分為非負(fù)數(shù)的概率為          12分

19．本小題滿分12分

       解：（1）取AB的中點G，連接CG，F(xiàn)G，

       則FG∥BE，且FG=BE，

       ∴FG∥CD，且FG=CD，2分

       ∴四邊形FGCD是平行四邊形，

       ∴DF∥CG，

       又∵CF平面ABC，

       ∴DF∥平面ABC,     6分

   （2）解法一：設(shè)A到平面BDF的距離為h，

       由                                                         8分

       在△BDF中，

       且CB=2,∴                                                                                            10分

       設(shè)AB于平面BDF所成的角為，則

       故AB與平面BDF所成的角為                                                           12分

       解法二：以點B為原點，BA、BC、BE所在的直線分別為x、y、z軸，建立空間直角

       坐標(biāo)系，則

       B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1）E（0，0，2），

       F（1，0，1）。……………………………………………………………………………       8分

       ∴ =（0，2，1），=（1，-2，0）……………………………………………       8分

       設(shè)平面BDF的一個法向量為n=（2，a，b），

       ∵ n⊥，n⊥，∴

即解得

       ∴ n=（2，1，-2）……………………………10分

       又設(shè)AB與平面BDF所成的角為，則法線n與所成的角為，

       ∴cos()===,

       即sin,故AB與平面BDF所成的角為arcsin.…………………………… 12分

20．本小題滿分12分

       解：（1）∵-=0,因為（）（）=0，

       ∵數(shù)列的各項均為正數(shù)，∴>0，∴=0，

       即所以數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列…………………………………3分

       ∴是的等差中項，∴，∴

       ∴數(shù)列的通項公式………………………………………………  6分

   （2）由（1）及log得，，…………………………………   8分

       ∵…

       ∴-…-                                ①

       ∴-…-                          ②

       ②-①得，+…+

       =………………………  （理）10分（文）12分

       要使>50成立，只需 >50成立，即>52，n

       ∴使>50成立的正整數(shù)n的最小值為5�！ɡ恚�12分

21．本小題滿分12分

       解：（1）由得（）………………1分

       當(dāng)時直線與雙曲線無交點，這和直線與雙曲線恒有公共點矛盾，

       ∴≠2，e≠…………………………………………………………………………2分

       當(dāng)≠2時，=恒成立，

       即恒成立，

       ∵>0，∴，∴，……………………………………3分

       ∵

       ∵（）=2，∴ ∴

       綜上知………………………………………………………………………6分

   （Ⅱ）設(shè)F（c,0）,則l:y=x-c,將x=y+c代入雙曲線方程，得

      

       整理得…………………………………………7分

       設(shè)兩交點為P（），Q，則

       ∵=∴……………………………………………………………8分

       ∴消去得

       ………………………………………………………………10分

       ∴>0且∴∴

       ∴所求雙曲線C的方程為………………………………………………12分

22．本小題滿分12分

   （理科）解：（1）……………………………………………2分

       ∵x=0時，取極值0，∴………………………………………………3分

       解得a=1,b=0.經(jīng)檢驗a=1,b=0符合題意�！�4分

   （2）由a=1,b=0知由

       得

       令則在上恰有兩個不同的實數(shù)

       根等價于在上恰有兩個不同實數(shù)根。

    當(dāng)時，<0，于是在（0，1）上單調(diào)遞減；

       當(dāng)時，>0，于是在（1，2）上單調(diào)遞增�！�7分

       依題意有<0，∴…………………8分

   （3）的定義域為>，

       由（1）知

當(dāng)單調(diào)遞減。

       當(dāng)x＞0時，＞0，單調(diào)遞增。

       ∴f（0）為在（-1，+∞）上的最小值，∴≥f（0）

       又f（0）=0，故（當(dāng)且僅當(dāng)x=0，等號成立）                     10分

       對任意正整數(shù)n，取

       故

       =                                                                              12分

   （文科）解：（1）∵       1分

       依題意有                                       3分

       解得                                                                                                  4分

       ∴                                                                             5分

   （2）∵，依題意x1、x2是方程=0的兩個根，

       由∴                               7分

       設(shè)

       由                                                  9分

       即函數(shù)在區(qū)間（0，4）上是增函數(shù)，在區(qū)間（4，6）上是減函數(shù)

       當(dāng)時，有極大值為96，∴在（0，6）上的最大值是96          10分

       ∴b的最大值為4                 12分

 

 


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