在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AB₁⊥BC₁,AB=CC₁=a,BC=b.

(1)設E、F分別為AB₁、BC₁的中點,求證:EF∥平面ABC;

(2)求證:A₁C₁⊥AB;

(3)求點B₁到平面ABC₁的距離.

 【必做題】本題滿分10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

過拋物線y²=4x上一點A(1，2)作拋物線的切線，分別交x軸于點B，交y軸于點D，點C(異于點A)在拋物線上，點E在線段AC上，滿足=λ₁；點F在線段BC上，滿足=λ₂，且λ₁+λ₂=1，線段CD與EF交于點P．

(1)設，求；

(2)當點C在拋物線上移動時，求點P的軌跡方程．

已知函數(shù)；

（1）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。

（2）若函數(shù)，若在[1，e]上至少存在一個x的值使成立，求實數(shù)的取值范圍。

【解析】第一問中，利用導數(shù)，因為在其定義域內(nèi)的單調遞增函數(shù)，所以 內(nèi)滿足恒成立，得到結論第二問中，在[1，e]上至少存在一個x的值使成立，等價于不等式 在[1，e]上有解，轉換為不等式有解來解答即可。

解：（1），

因為在其定義域內(nèi)的單調遞增函數(shù)，

所以 內(nèi)滿足恒成立，即恒成立，

亦即，

即可  又

當且僅當，即x=1時取等號，

在其定義域內(nèi)為單調增函數(shù)的實數(shù)k的取值范圍是.

（2）在[1，e]上至少存在一個x的值使成立，等價于不等式 在[1，e]上有解，設

 上的增函數(shù)，依題意需

實數(shù)k的取值范圍是

 

設函數(shù)f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若當x∈[

1

e

-1，e-1]時，（其中e=2.718…）不等式f（x）＜m恒成立，
求實數(shù)m的取值范圍；
（3）試討論關于x的方程：f（x）=x²+x+a在區(qū)間[0，2]上的根的個數(shù)．