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已知橢圓.
（1）我們知道圓具有性質(zhì)：若為圓O：的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的斜率與直線OE的斜率的乘積為定值。類比圓的這個性質(zhì)，寫出橢圓的類似性質(zhì)，并加以證明；
（2）如圖（1），點(diǎn)B為在第一象限中的任意一點(diǎn)，過B作的切線，分別與x軸和y軸的正半軸交于C，D兩點(diǎn)，求三角形OCD面積的最小值；
（3）如圖（2），過橢圓上任意一點(diǎn)作的兩條切線PM和PN，切點(diǎn)分別為M，N.當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動時，是否存在定圓恒與直線MN相切？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由.
    
圖（1）                                    圖（2）

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

C

B

A

D

B

C

C

D

D

A

C

二、填空題

13．     14．      15．4       16．③④

三、解答題

17．解：（1）∵，，

∴．           …………2分

又，       …………4分

∴，∴．                 …………6分

   （2）∵，，，

∴．      …………8分

∵，

∴．

∴，

∴.…………10分

18．（1）證明：連結(jié)BD交AC于點(diǎn)M，取BE的中點(diǎn)N，

連結(jié)MN，則MN∥ED且MN＝ED，依題意，

知AG∥ED且AG＝ED，

∴MN∥AG且MN＝AG．

故四邊形MNAG是平行四邊形， AM∥ＧＮ，

即AC∥ＧＮ，…………3分

又∵

∴　AC∥平面GBE．…………6分

   （2）解：延長EG交DA的延長線于H點(diǎn)，

連結(jié)BH，作AO⊥GH于O點(diǎn)，連結(jié)BO．

∵　平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD ，AB⊥AD

∴　AB⊥平面ADEF，由三垂線定理，知AB⊥GH，

故∠AOB就是二面角B－GE－D的平面角．…………8分

∵　平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD ，ED⊥AD

∴　ED⊥平面ABCD，

故∠EBD就是直線BE與平面ABCD成的角，……10分

知∠EBD＝45°，設(shè)AB＝a，則BE＝BD＝a．

在直角三角形AGH中：AH＝AD= a，AG＝＝a，

HG＝，AO＝．

在直角三角形ABO中：tan∠AOB＝．

∴　∠AOB＝60°．

故二面角B－GE－D的大小為60°．…………12分

19．解：（1）記A₀表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”，A₁表示事件“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件是二等品”．則A₀、A₁互斥，且A＝A₀＋A₁．

故P （A）＝P （A₀＋A₁）＝P （A₀） ＋P （A₁）＝（1－p）²＋Cp （1－p）＝1－p²．

依題意，知1－p²＝0.96，又p＞0，得p＝0.2．…………6分

   （2）（理）ξ可能的取值為0，1，2．

若該批產(chǎn)品共100件，由（1）知，其中共有二等品100×0.2＝20件，故

Ｐ（ξ＝0）＝．Ｐ（ξ＝1）＝．  

Ｐ（ξ＝2）＝．…………9分

所以ξ的分布列為

ξ

0

1

2

P

ξ的期望…………12分

20．解 （1）在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，

       有兩根，

            ……4分

    令，

    則，

因?yàn)?sub>在上恒大于0，所以在上單調(diào)遞增，

故，  ，

        .                            ……………6分

   （2），

     ．

      ．                        ………………8分

      ①當(dāng)時，，定義域?yàn)?sub>，

    恒成立，上單調(diào)遞增；           …………9分

       ②當(dāng)時，，定義域：，

       恒成立，上單調(diào)遞增；     …………10分

       ③當(dāng)時，，定義域：，

       由得，由得．

       故在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.     …………11分

       所以當(dāng)時，上單調(diào)遞增，故無極值；

       當(dāng)時，上單增；故無極值.

       當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.

       故有極小值,且的極小值為. …12分

21．解：（I）設(shè)依題意得

…………2分

消去，整理得．…………4分

    當(dāng)時，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；

    當(dāng)時，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；

    當(dāng)時，方程表示圓．        …………6分

   （II）當(dāng)時，方程為，   

       設(shè)直線的方程為，

                         …………8分

消去得．…………10分

根據(jù)已知可得，故有，

，

直線的斜率為．  …………12分

22．證明  （Ⅰ）即證.

  ，，，

  .…………2分

假設(shè)，則

，…………4分

，

  .

綜上所述，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，命題成立. …………6分

   （Ⅱ）由（Ⅰ），得

，…………8

  .…………10

又  ，  ，

即.………12分