已知點(diǎn)A和動點(diǎn)M滿足:.且.動點(diǎn)M的軌跡為曲線C.過點(diǎn)B的直線交C于P.Q兩點(diǎn)． (1)求曲線C的方程, (2)求△APQ面積的最大值． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

(本大題滿分12分)
已知點(diǎn)A(－1，0)、B(1，0)和動點(diǎn)M滿足：，且，動點(diǎn)M的軌跡為曲線C，過點(diǎn)B的直線交C于P、Q兩點(diǎn)．
(1)求曲線C的方程；
(2)求△APQ面積的最大值．




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(本小題滿分12分)

   已知函數(shù)f（x）=x3－ax2，其中a為實常數(shù).

   （1）設(shè)當(dāng)x∈（0，1）時，函數(shù)y = f（x）圖象上任一點(diǎn)P處的切線的斜線率為k，若k≥－1，求a的取值范圍

  （2）當(dāng)x∈［－1，1］時，求函數(shù)y=f（x）+a（x2－3x）的最大值.

 

 

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(本小題滿分12分)

   已知函數(shù)f（x）=x3－ax2，其中a為實常數(shù).

   （1）設(shè)當(dāng)x∈（0，1）時，函數(shù)y = f（x）圖象上任一點(diǎn)P處的切線的斜線率為k，若k≥－1，求a的取值范圍

  （2）當(dāng)x∈［－1，1］時，求函數(shù)y=f（x）+a（x2－3x）的最大值.

 

 

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（本小題滿分12分）已知雙曲線C:=1（a＞0，b＞0）的一條準(zhǔn)線方程為x=，一個頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）動點(diǎn)P到雙曲線C的左頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)F的距離之和為常數(shù)（大于|AF|），且cosAPF的最小值為－，求動點(diǎn)P的軌跡方程.

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已知直三棱柱中, , ， 是和的交點(diǎn), 若.

（1）求的長；  （2）求點(diǎn)到平面的距離；

（3）求二面角的平面角的正弦值的大小.

【解析】本試題主要考查了距離和角的求解運(yùn)用。第一問中，利用ACCA為正方形, AC=3

第二問中，利用面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點(diǎn)C平面ABC的距離CD=，第三問中，利用三垂線定理作二面角的平面角，然后利用直角三角形求解得到其正弦值為

解法一: (1)連AC交AC于E, 易證ACCA為正方形, AC=3 ……………  5分

(2)在面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點(diǎn)C平面ABC的距離CD= … 8分

(3) 易得AC面ACB, 過E作EHAB于H, 連HC, 則HCAB

CHE為二面角C－AB－C的平面角. ………  9分

sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為 ……… 12分

解法二: (1)分別以直線CB、CC、CA為x、y為軸建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)|CA|=h, 則C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3, 0), A(0, 0, h), A(0, －3, h), G(2, －, －) ………………………  3分

=(2, －, －), =(0, －3, －h(huán))  ……… 4分

·=0,  h=3

(2)設(shè)平面ABC得法向量=(a, b, c),則可求得=(3, 4, 0) (令a=3)

點(diǎn)A到平面ABC的距離為H=||=……… 8分

(3) 設(shè)平面ABC的法向量為=(x, y, z),則可求得=(0, 1, 1) (令z=1)

二面角C－AB－C的大小滿足cos== ………  11分

二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為

 

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一．選擇題：DCBBA  DACCA

二．填空題：11．4x－3y－17 = 0　　12．33　　13．
　　　　　　14．　　15．

三．解答題：

16．(1)解：∵，                                  2分
∴由得：，即              4分
又∵，∴                                                                                    6分

(2)解：                                    8分
由得：，即          10分
兩邊平方得：，∴                                          12分

17．方法一

(1)證：∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC                                                      2分
又∵CDÌ平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC　　 4分

(2)解：∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，故AB⊥BD
∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角          6分
∵在Rt△BCD中，BC = CD，∴∠CBD = 45°
即二面角C－AB－D的大小為45°              8分

(3)解：過點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H，連結(jié)DH
∵平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD，
∴∠BDH為BD與平面ACD所成的角           10分
設(shè)AB = a，在Rt△BHD中，，
∴
又，∴                                                                                        12分

方法二
(1)同方法一                                                                                                               4分
(2)解：設(shè)以過B點(diǎn)且∥CD的向量為x軸，為y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB = a，則A(0，0，a)，C(0，1，0)，D(1，1，0)， = (1，1，0)， = (0，0，a)
平面ABC的法向量 = (1，0，0)
設(shè)平面ABD的一個法向量為n = (x，y，z)，則

取n = (1，－1，0)                           6分

∴二面角C－AB－D的大小為45°                                                                           8分

(3)解： = (0，1，－a)， = (1，0，0)， = (1，1，0)
設(shè)平面ACD的一個法向量是m = (x，y，z)，則
∴可取m = (0，a，1)，設(shè)直線BD與平面ACD所成角為，則向量、m的夾角為
故                                                                        10分
即
又，∴                                                                                        12分

18．解：該商場應(yīng)在箱中至少放入x個其它顏色的球，獲得獎金數(shù)為，
則= 0，100，150，200
，，
，                        8分
∴的分布列為

    • 
   
    
    
    
    
    
    
    
    <ul id="8gwyi"></ul>
    <ul id="8gwyi"></ul>
    
     
    
      
      
    0
    100
    150
    200
    P
     
    19．(1)解：設(shè)M (x，y)，在△MAB中，| AB | = 2，
    
∴
    
即                        2分
    
因此點(diǎn)M的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，a =
2，c =
1
    
∴曲線C的方程為．                                                                                4分
    (2)解法一：設(shè)直線PQ方程為 (∈R)
    
由 得：                                                            6分
    
顯然，方程①的，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則有
    

    
                                                           8分
    
令，則t≥3，                                                             10分
    
由于函數(shù)在[3，＋∞)上是增函數(shù)，∴
    
故，即S≤3
    
∴△APQ的最大值為3                                                                                              12分
    解法二：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則
    
當(dāng)直線PQ的斜率不存在時，易知S = 3
    
設(shè)直線PQ方程為
    
由  得：  ①                                         6分
    
顯然，方程①的△＞0，則
    
∴                                    8分
    
                                10分
    
　　　　 
    
令，則，即S＜3
    ∴△APQ的最大值為3                                                                                              12分
    20．(1)解：∵，
    
∴                                                                         2分
    
當(dāng)時，
    
∵當(dāng)時，，此時函數(shù)遞減；
    
當(dāng)時，，此時函數(shù)遞增；
    
∴當(dāng)時，F(xiàn)(x)取極小值，其極小值為0．                                                          4分
    (2)解：由(1)可知函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，
    
因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點(diǎn)．
    
設(shè)隔離直線的斜率為k，則直線方程為，即              6分
    
由，可得當(dāng)時恒成立
    
由得：                                                                              8分
    
下面證明當(dāng)時恒成立．
    
令，
    
則，                                                                           10分
    
當(dāng)時，．
    
∵當(dāng)時，，此時函數(shù)遞增；
    
當(dāng)時，，此時函數(shù)遞減；
    
∴當(dāng)時，取極大值，其極大值為0．                                                        12分
    
從而，即恒成立．
    
∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線．                                              13分
    21．(1)解：記
    
令x =
1得：
    
令x =－1得：
    
兩式相減得：
    
∴                                                                                                        2分
    
當(dāng)n≥2時，
    
當(dāng)n =
1時，，適合上式
    
∴                                                                                                 4分
    (2)解：
    
注意到                               6分
    
令，
    
則
    
∴
    
故，即                                             8分
    (3)解：
    
　　　 (n≥2)                                                                        10分
    
∴
    
　        12分
    
∵
    
∴                                                       14分
     
     
     
    		
	
	
    
		
    


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