已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn是二項(xiàng)式展開式中含x奇次冪的系數(shù)和． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式, (2)設(shè).求, (3)證明:． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

(本大題滿分14分)
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn是二項(xiàng)式展開式中含x奇次冪的系數(shù)和．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求；
(3)證明：．

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（本小題滿分14分）

    已知數(shù)列

   （1）計(jì)算x2，x3，x4的值；

   （2）試比較xn與2的大小關(guān)系；

   （3）設(shè)，Sn為數(shù)列{an}前n項(xiàng)和，求證：當(dāng).

 

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（本小題滿分14分）
已知數(shù)列
（1）計(jì)算x2，x3，x4的值；
（2）試比較xn與2的大小關(guān)系；
（3）設(shè)，Sn為數(shù)列{an}前n項(xiàng)和，求證：當(dāng).

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（本題滿分14分）

（理）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且=1，

.

（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（II）已知定理：“若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凹函數(shù)，x>y(x,y∈D)，且f’(x)存在，則有

< f’(x)”．若且函數(shù)y=xn+1在(0,+∞)上是凹函數(shù)，試判斷bn與bn+1的大��；

（III）求證：≤bn<2.

 

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（本題滿分14分）

（理）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且=1，

.（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（II）已知定理：“若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凹函數(shù)，x>y(x,y∈D)，且f’(x)存在，則有

< f’(x)”．若且函數(shù)y=xn+1在(0,+∞)上是凹函數(shù)，試判斷bn與bn+1的大��；

（III）求證：≤bn<2.

 

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一．選擇題：DCBBA  DACCA

二．填空題：11．4x－3y－17 = 0　　12．33　　13．
　　　　　　14．　　15．

三．解答題：

16．(1)解：∵，                                  2分
∴由得：，即              4分
又∵，∴                                                                                    6分

(2)解：                                    8分
由得：，即          10分
兩邊平方得：，∴                                          12分

17．方法一

(1)證：∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC                                                      2分
又∵CDÌ平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC　　 4分

(2)解：∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，故AB⊥BD
∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角          6分
∵在Rt△BCD中，BC = CD，∴∠CBD = 45°
即二面角C－AB－D的大小為45°              8分

(3)解：過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H，連結(jié)DH
∵平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD，
∴∠BDH為BD與平面ACD所成的角           10分
設(shè)AB = a，在Rt△BHD中，，
∴
又，∴                                                                                        12分

方法二
(1)同方法一                                                                                                               4分
(2)解：設(shè)以過(guò)B點(diǎn)且∥CD的向量為x軸，為y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB = a，則A(0，0，a)，C(0，1，0)，D(1，1，0)， = (1，1，0)， = (0，0，a)
平面ABC的法向量 = (1，0，0)
設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為n = (x，y，z)，則

取n = (1，－1，0)                           6分

∴二面角C－AB－D的大小為45°                                                                           8分

(3)解： = (0，1，－a)， = (1，0，0)， = (1，1，0)
設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量是m = (x，y，z)，則
∴可取m = (0，a，1)，設(shè)直線BD與平面ACD所成角為，則向量、m的夾角為
故                                                                        10分
即
又，∴                                                                                        12分

18．解：該商場(chǎng)應(yīng)在箱中至少放入x個(gè)其它顏色的球，獲得獎(jiǎng)金數(shù)為，
則= 0，100，150，200
，，
，                        8分
∴的分布列為

        
     
        
      
      
        0
        100
        150
        200
        P
         
        19．(1)解：設(shè)M (x，y)，在△MAB中，| AB | = 2，
        
∴
        
即                        2分
        
因此點(diǎn)M的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，a =
2，c =
1
        
∴曲線C的方程為．                                                                                4分
        (2)解法一：設(shè)直線PQ方程為 (∈R)
        
由 得：                                                            6分
        
顯然，方程①的，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則有
        

        
                                                           8分
        
令，則t≥3，                                                             10分
        
由于函數(shù)在[3，＋∞)上是增函數(shù)，∴
        
故，即S≤3
        
∴△APQ的最大值為3                                                                                              12分
        解法二：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則
        
當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，易知S = 3
        
設(shè)直線PQ方程為
        
由  得：  ①                                         6分
        
顯然，方程①的△＞0，則
        
∴                                    8分
        
                                10分
        
　　　　 
        
令，則，即S＜3
        ∴△APQ的最大值為3                                                                                              12分
        20．(1)解：∵，
        
∴                                                                         2分
        
當(dāng)時(shí)，
        
∵當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；
        
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；
        
∴當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(x)取極小值，其極小值為0．                                                          4分
        (2)解：由(1)可知函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，
        
因此若存在和的隔離直線，則該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)．
        
設(shè)隔離直線的斜率為k，則直線方程為，即              6分
        
由，可得當(dāng)時(shí)恒成立
        
由得：                                                                              8分
        
下面證明當(dāng)時(shí)恒成立．
        
令，
        
則，                                                                           10分
        
當(dāng)時(shí)，．
        
∵當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；
        
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；
        
∴當(dāng)時(shí)，取極大值，其極大值為0．                                                        12分
        
從而，即恒成立．
        
∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線．                                              13分
        21．(1)解：記
        
令x =
1得：
        
令x =－1得：
        
兩式相減得：
        
∴                                                                                                        2分
        
當(dāng)n≥2時(shí)，
        
當(dāng)n =
1時(shí)，，適合上式
        
∴                                                                                                 4分
        (2)解：
        
注意到                               6分
        
令，
        
則
        
∴
        
故，即                                             8分
        (3)解：
        
　　　 (n≥2)                                                                        10分
        
∴
        
　        12分
        
∵
        
∴                                                       14分
         
         
         
        		
	
	
        
		
        


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