已知函數(shù)，其中.

  （1）若在處取得極值，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

  （2）討論函數(shù)在的單調(diào)性；

  （3）若函數(shù)在上的最小值為2，求的取值范圍.

【解析】第一問，因在處取得極值

所以，，解得，此時，可得求曲線在點(diǎn)

處的切線方程為：

第二問中，易得的分母大于零，

①當(dāng)時， ，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，由可得，由解得

第三問，當(dāng)時由（2）可知，在上處取得最小值，

當(dāng)時由（2）可知在處取得最小值，不符合題意.

綜上，函數(shù)在上的最小值為2時，求的取值范圍是

 

已知

（1）求函數(shù)在上的最小值

（2）對一切的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

（3）證明對一切，都有成立

【解析】第一問中利用

當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)，即時，，

第二問中，，則設(shè)，

則，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，因?yàn)閷σ磺?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911311009329402/SYS201207091131571401959588_ST.files/image005.png">，恒成立， 

第三問中問題等價于證明，，

由（1）可知，的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)x=時取得

設(shè)，，則，易得。當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取得.從而對一切，都有成立

解：（1）當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)，即時，，

                 …………4分

（2），則設(shè)，

則，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，因?yàn)閷σ磺?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911311009329402/SYS201207091131571401959588_ST.files/image005.png">，恒成立，                                             …………9分

（3）問題等價于證明，，

由（1）可知，的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)x=時取得

設(shè)，，則，易得。當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取得.從而對一切，都有成立