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（本題滿分14分）

   如圖，矩形是機器人踢足球的場地，，，機器人先從的中點進入場地到點處，，．場地內有一小球從點運動，機器人從點出發(fā)去截小球，現機器人和小球同時出發(fā)，它們均作勻速直線運動，并且小球運動的速度是機器人行走速度的2倍．若忽略機器人原地旋轉所需的時間，則機器人最快可在何處截住小球？

 

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（本題滿分14分）

   如圖，矩形是機器人踢足球的場地，，，機器人先從的中點進入場地到點處，，．場地內有一小球從點運動，機器人從點出發(fā)去截小球，現機器人和小球同時出發(fā)，它們均作勻速直線運動，并且小球運動的速度是機器人行走速度的2倍．若忽略機器人原地旋轉所需的時間，則機器人最快可在何處截住小球？

 

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一、填空題：

1．   2．    3．    4．    5．    6．   7．    8．2009     9．4個     10．①②    11． 

二、選擇題：

12．B    13．C    14．D    15．D

三、解答題：

16．解：（Ⅰ）因為點的坐標為，根據三角函數定義可知，  

，，                                                          2分

所以                                                4分

（Ⅱ）因為三角形為正三角形，所以，，，                                                  5分

所以

                                               7分

所以

。                                        11分

17．方法一：（I）證明：連結OC，因為所以

又所以，                                    2分

在中，由已知可得 而

所以所以即，

而       所以平面。                                    5分

（II）解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知

所以直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角，              7分

在中，因為是直角斜邊AC上的中線，所以所以                          

所以異面直線AB與CD所成角的大小為。                           12分

18．解：（Ⅰ）由年銷售量為件，按利潤的計算公式，有生產A、B兩產品的年利潤分別為：

且         2分

所以                      5分

（Ⅱ）因為所以為增函數，

，所以時，生產A產品有最大利潤為（萬美元）                         

又，所以時，生產B產品

有最大利潤為460（萬美元）                                            8分

現在我們研究生產哪種產品年利潤最大，為此，我們作差比較：

  10分

所以：當時，投資生產A產品200件可獲得最大年利潤;

     當時，生產A產品與生產B產品均可獲得最大年利潤；

     當時，投資生產B產品100件可獲得最大年利潤。12分

19．解：（1）當時， ，成立，所以是偶函數；

                                                                         3分

當時，，這時所以是非奇非偶函數；                                                           6分

（2）當時，設且,則

                  9分

當時，因為且，所以

所以，

，所以是區(qū)間 的單調遞減函數。  14分

20．解：（Ⅰ）由拋物線：知，設，在上，且，所以，得，代入，得，

所以。                                                      4分

在上，由已知橢圓的半焦距，于是

消去并整理得  ， 解得（不合題意，舍去）．

故橢圓的方程為。                                      7分

（另法：因為在上，

所以，所以，以下略。）

（Ⅱ）由得，所以點O到直線的距離為

，又，

所以，

且。                                      10分

下面視提出問題的質量而定：

如問題一：當面積為時，求直線的方程。（）      得2分

問題二：當面積取最大值時，求直線的方程。（）       得4分

21．解：（1）

2

3

35

100

97

94

3

1

                                                                         4分

（2）由題意知數列的前34項成首項為100,公差為－3的等差數列,從第35項開始,奇數項均為3,偶數項均為1,                                  6分

從而=                         8分

    =                        10分

（3）證明：①若,則題意成立，                                   12分

②若,此時數列的前若干項滿足,即，

設,則當時,，

從而此時命題成立；                                                       14分

③若,由題意得,則由②的結論知此時命題也成立，

綜上所述,原命題成立。                                                     16分