已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若函數(shù)依次在處取到極值.求的取值范圍；

（Ⅱ）若存在實數(shù)，使對任意的，不等式 恒成立.求正整數(shù)的最大值.

【解析】第一問中利用導數(shù)在在處取到極值點可知導數(shù)為零可以解得方程有三個不同的實數(shù)根來分析求解。

第二問中，利用存在實數(shù)，使對任意的，不等式 恒成立轉化為，恒成立，分離參數(shù)法求解得到范圍。

解：（1）

①

（2）不等式 ，即，即.

轉化為存在實數(shù)，使對任意的，不等式恒成立.

即不等式在上恒成立.

即不等式在上恒成立.

設，則.

設，則，因為，有.

故在區(qū)間上是減函數(shù)。又

故存在，使得.

當時，有，當時，有.

從而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.

又[來源:]

所以當時，恒有；當時，恒有；

故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5

 

根據已知條件求曲線方程的一般步驟：

(1)________：________坐標系中，用有序實數(shù)對(x，y)表示所求曲線上________M的坐標；

(2)________：尋找并寫出適合題意條件p的________的集合________；

(3)________：________，列出方程f(x，y)＝0；

(4)________：化方程f(x，y)＝0為最簡式；

(5)________：證明以化簡后的方程的解為坐標的點________．

一般情況下，當化簡前后方程的解是________，步驟(5)可以省略不寫，若有特殊情況如增根、失根時，可適當予以說明．另外，根據情況，也可省略________，直接列出________．

某廠在一個空間容積為2000m³的密封車間內生產某種化學藥品．開始生產后，每滿60分鐘會一次性釋放出有害氣體am³，并迅速擴散到空氣中．每次釋放有害氣體后，車間內的凈化設備隨即自動工作20分鐘，將有害氣體的含量降至該車間內原有有害氣體含量的r％，然后停止工作，待下一次有害氣體釋放后再繼續(xù)工作．安全生產條例規(guī)定：只有當車間內的有害氣體總量不超過1.25am³時才能正常進行生產．

(Ⅰ)當r＝20時，該車間能否連續(xù)正常生產6.5小時？請說明理由；

(Ⅱ)能否找到一個大于20的數(shù)據r，使該車間能連續(xù)正常生產6.5小時？請說明理由；

(Ⅲ)(本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過150分)

已知該凈化設備的工作方式是：在向外釋放出室內混合氣體(空氣和有害氣體)的同時向室內放入等體積的新鮮空氣．已知該凈化設備的換氣量是200m³／分，試證明該設備連續(xù)工作20分鐘能夠將有害氣體含量降至原有有害氣體含量的20％以下．(提示：我們可以將凈化過程劃分成n次，且n趨向于無窮大．)