題目列表(包括答案和解析)
已知過點的動直線
與拋物線
相交于
兩點.當(dāng)直線
的斜率是
時,
.
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)線段的中垂線在
軸上的截距為
,求
的取值范圍.
【解析】(1)B,C
,當(dāng)直線
的斜率是
時,
的方程為
,即
(1’)
聯(lián)立 得
,
(3’)
由已知 ,
(4’)
由韋達(dá)定理可得G方程為
(5’)
(2)設(shè):
,BC中點坐標(biāo)為
(6’)
得
由
得
(8’)
BC中垂線為 (10’)
(11’)
過拋物線的對稱軸上的定點
,作直線
與拋物線相交于
兩點.
(I)試證明兩點的縱坐標(biāo)之積為定值;
(II)若點是定直線
上的任一點,試探索三條直線
的斜率之間的關(guān)系,并給出證明.
【解析】本題主要考查拋物線與直線的位置關(guān)系以及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.
(1)中證明:設(shè)下證之:設(shè)直線AB的方程為: x=ty+m與y2=2px聯(lián)立得消去x得y2=2pty-2pm=0,由韋達(dá)定理得
(2)中:因為三條直線AN,MN,BN的斜率成等差數(shù)列,下證之
設(shè)點N(-m,n),則直線AN的斜率KAN=,直線BN的斜率KBN=
KAN+KBN=+
本題主要考查拋物線與直線的位置關(guān)系以及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.
設(shè)雙曲線的兩個焦點分別為
、
,離心率為2.
(1)求雙曲線的漸近線方程;
(2)過點能否作出直線
,使
與雙曲線
交于
、
兩點,且
,若存在,求出直線方程,若不存在,說明理由.
【解析】(1)根據(jù)離心率先求出a2的值,然后令雙曲線等于右側(cè)的1為0,解此方程可得雙曲線的漸近線方程.
(2)設(shè)直線l的方程為,然后直線方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去y,得到關(guān)于x的一元二次方程,利用韋達(dá)定理
表示此條件,得到關(guān)于k的方程,解出k的值,然后驗證判別式是否大于零即可.
如圖,已知直線(
)與拋物線
:
和圓
:
都相切,
是
的焦點.
(Ⅰ)求與
的值;
(Ⅱ)設(shè)是
上的一動點,以
為切點作拋物線
的切線
,直線
交
軸于點
,以
、
為鄰邊作平行四邊形
,證明:點
在一條定直線上;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,記點所在的定直線為
, 直線
與
軸交點為
,連接
交拋物線
于
、
兩點,求△
的面積
的取值范圍.
【解析】第一問中利用圓:
的圓心為
,半徑
.由題設(shè)圓心到直線
的距離
.
即,解得
(
舍去)
設(shè)與拋物線的相切點為
,又
,得
,
.
代入直線方程得:,∴
所以
,
第二問中,由(Ⅰ)知拋物線方程為
,焦點
. ………………(2分)
設(shè),由(Ⅰ)知以
為切點的切線
的方程為
.
令,得切線
交
軸的
點坐標(biāo)為
所以
,
, ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形
∴ 因為
是定點,所以點
在定直線
第三問中,設(shè)直線,代入
得
結(jié)合韋達(dá)定理得到。
解:(Ⅰ)由已知,圓:
的圓心為
,半徑
.由題設(shè)圓心到直線
的距離
.
即,解得
(
舍去). …………………(2分)
設(shè)與拋物線的相切點為
,又
,得
,
.
代入直線方程得:,∴
所以
,
.
……(2分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知拋物線方程為
,焦點
. ………………(2分)
設(shè),由(Ⅰ)知以
為切點的切線
的方程為
.
令,得切線
交
軸的
點坐標(biāo)為
所以
,
, ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形,
∴ 因為
是定點,所以點
在定直線
上.…(2分)
(Ⅲ)設(shè)直線,代入
得
, ……)得
,
…………………………… (2分)
,
.
△
的面積
范圍是
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com