題目列表(包括答案和解析)
已知中心在坐標原點,焦點在軸上的橢圓C;其長軸長等于4,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若點(0,1), 問是否存在直線與橢圓交于兩點,且?若存在,求出的取值范圍,若不存在,請說明理由.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解,直線與橢圓的位置關系的運用。
第一問中,可設橢圓的標準方程為
則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,
又由于
所求橢圓C的標準方程為
第二問中,
假設存在這樣的直線,設,MN的中點為
因為|ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;
(ii)下面僅考慮情形:
由,得,
,得
代入1,2式中得到范圍。
(Ⅰ) 可設橢圓的標準方程為
則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,
又由于
所求橢圓C的標準方程為
(Ⅱ) 假設存在這樣的直線,設,MN的中點為
因為|ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;
(ii)下面僅考慮情形:
由,得,
,得……② ……………………9分
則.
代入①式得,解得………………………………………12分
代入②式得,得.
綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率k的取值范圍是
如圖,已知橢圓的焦點和上頂點分別為、、,我們稱為橢圓的特征三角形.如果兩個橢圓的特征三角形是相似的,則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”,且三角形的相似比即為橢圓的相似比.
(1)已知橢圓和,判斷與是否相似,如果相似則求出與的相似比,若不相似請說明理由;
(2)若與橢圓相似且半短軸長為的橢圓為,且直線與橢圓為相交于兩點(異于端點),試問:當面積最大時, 是否與有關?并證明你的結論.
(3)根據(jù)與橢圓相似且半短軸長為的橢圓的方程,提出你認為有價值的相似橢圓之間的三種性質(不需證明);
已知函數(shù)=.
(Ⅰ)當時,求不等式 ≥3的解集;
(Ⅱ) 若≤的解集包含,求的取值范圍.
【命題意圖】本題主要考查含絕對值不等式的解法,是簡單題.
【解析】(Ⅰ)當時,=,
當≤2時,由≥3得,解得≤1;
當2<<3時,≥3,無解;
當≥3時,由≥3得≥3,解得≥8,
∴≥3的解集為{|≤1或≥8};
(Ⅱ) ≤,
當∈[1,2]時,==2,
∴,有條件得且,即,
故滿足條件的的取值范圍為[-3,0]
設向量,,其中,由不等式 恒成立,可以證明(柯西)不等式(當且僅當∥,即時等號成立),己知,若恒成立,利用可西不等式可求得實數(shù)的取值范圍是
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