題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分16分)
設是定義在區(qū)間上的函數(shù),其導函數(shù)為。如果存在實數(shù)和函數(shù),其中對任意的都有>0,使得,則稱函數(shù)具有性質。
(1)設函數(shù),其中為實數(shù)。
(i)求證:函數(shù)具有性質; (ii)求函數(shù)的單調區(qū)間。
(2)已知函數(shù)具有性質。給定設為實數(shù),
,,且,
若||<||,求的取值范圍。
(本小題滿分16分)已知數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列,數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.(Ⅰ)若數(shù)列的前項和為,且,,求整數(shù)的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,試問數(shù)列中是否存在一項,使得恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)項的和?請說明理由;(Ⅲ)若(其中,且()是()的約數(shù)),求證:數(shù)列中每一項都是數(shù)列中的項.
(本小題滿分16分)
已知數(shù)列是等差數(shù)列,數(shù)列是等比數(shù)列,且對任意的,都有.
(1)若的首項為4,公比為2,求數(shù)列的前項和;
(2)若.
①求數(shù)列與的通項公式;
②試探究:數(shù)列中是否存在某一項,它可以表示為該數(shù)列中其它項的和?若存在,請求出該項;若不存在,請說明理由.
(本小題滿分16分)經銷商用一輛J型卡車將某種水果從果園運送(滿載)到相距400km的水果批發(fā)市場.據(jù)測算,J型卡車滿載行駛時,每100km所消耗的燃油量u(單位:資、車損等其他費用平均每小時300元.已知燃油價格為每升(L)7.5元.
(1)設運送這車水果的費用為y(元)(不計返程費用),將y表示成速度v的函數(shù)關系式;
(2)卡車該以怎樣的速度行駛,才能使運送這車水果的費用最少?
(本小題滿分16分)如圖,是橢圓的左、右頂點,橢圓的離心率為,右準線的方程為.
(1)求橢圓方程;
(2)設是橢圓上異于的一點,直線交于點,以為直徑的圓記為.
①若恰好是橢圓的上頂點,求截直線所得的弦長;
②設與直線交于點,試證明:直線與軸的交點為定點,并求該定點的坐標.
一、填空題
1. 2., 3. 4.2 5.1 6.
7.50 8. 9.-2 10. 11.2 12.
13.2 14.
二、解答題
15[解]:證:設 ,連 。
⑴ ∵為菱形, ∴ 為中點,又為中點。
∴∥ (5分)
又 , ∴∥(7分)
⑵ ∵為菱形, ∴, (9分)
又∵, ∴ (12分)
又 ∴ 又
∴ (14分)
16[解]:解:⑴ ∵ , ∴ ,∴ (1分)
又 (3分)
∴
∴ 。 (6分)
⑵, (8分)
∵,∴, 。
∴ (10分)
(13分)
(當 即 時取“”)
所以的最大值為,相應的 (14分)
17.解:⑴直線的斜率 ,中點坐標為 ,
∴直線方程為 (4分)
⑵設圓心,則由在上得:
①
又直徑,,
又
∴ ② (7分)
由①②解得或
∴圓心 或
∴圓的方程為 或 (9分)
⑶ ,∴ 當△面積為時 ,點到直線的距離為 。 (12分)
又圓心到直線的距離為,圓的半徑 且
∴圓上共有兩個點使 △的面積為 . (14分)
18[解] (1)乙方的實際年利潤為: . (5分)
,
當時,取得最大值.
所以乙方取得最大年利潤的年產量 (噸).…………………8分
(2)設甲方凈收入為元,則.
將代入上式,得:. (13分)
又
令,得.
當時,;當時,,所以時,取得最大值.
因此甲方向乙方要求賠付價格 (元/噸)時,獲最大凈收入. (16分)
19. 解:⑴ 由 得 ,令 得 (2分)
∴所求距離的最小值即為到直線的距離(4分)
(7分)
⑵假設存在正數(shù),令 則(9分)
由得:
∵當時, ,∴為減函數(shù);
當時,,∴ 為增函數(shù).
∴ (14分)
∴ ∴
∴的取值范圍為 (16分)
20. 解:⑴由條件得: ∴ (3分)
∵ ∴ ∴為等比數(shù)列∴(6分)
⑵由 得 (8分)
又 ∴ (9分)
⑶∵
(或由即)
∴為遞增數(shù)列。 (11分)
∴從而 (14分)
∴
(16分)
附加題答案
21. (8分)
22. 解:⑴①當時,
∴ (2分)
②當時,
∴ (4分)
③當時,
∴ (6分)
綜上該不等式解集為 (8分)
23. (1); (6分)
(2)AB= (12分)
24. 解: ⑴設為軌跡上任一點,則
(4分)
化簡得: 為求。 (6分)
⑵設,,
∵ ∴ (8分)
∴ 或 為求 (12分)
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