(Ⅱ)試問:是否存在實數(shù).使得當(dāng).的最小值是?如果存在.求出實數(shù)的值,如果不存在.請說明理由． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)

（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

（Ⅱ）令g（x）= f（x）－x2，是否存在實數(shù)a，當(dāng)x∈（0，e](e是自然常數(shù))時，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）當(dāng)x∈（0，e]時，證明：

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問中利用函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)恒小于等于零，然后分離參數(shù)求解得到a的取值范圍。第二問中，

假設(shè)存在實數(shù)a，使有最小值3，利用，對a分類討論，進(jìn)行求解得到a的值。

第三問中，

因為，這樣利用單調(diào)性證明得到不等式成立。

解：(Ⅰ)

(Ⅱ) 

（Ⅲ）見解析

 

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已知冪函數(shù)滿足。

（1）求實數(shù)k的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)的解析式；

（2）對于（1）中的函數(shù)，試判斷是否存在正數(shù)m，使函數(shù)，在區(qū)間上的最大值為5。若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。

【解析】本試題主要考查了函數(shù)的解析式的求解和函數(shù)的最值的運(yùn)用。第一問中利用，冪函數(shù)滿足，得到

因為，所以k=0，或k=1，故解析式為

（2）由（1）知，，，因此拋物線開口向下，對稱軸方程為：，結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸，和開口求解最大值為5.，得到

（1）對于冪函數(shù)滿足，

因此，解得，………………3分

因為，所以k=0，或k=1，當(dāng)k=0時，，

當(dāng)k=1時，，綜上所述，k的值為0或1，�！�6分

（2）函數(shù)，………………7分

由此要求，因此拋物線開口向下，對稱軸方程為：，

當(dāng)時，，因為在區(qū)間上的最大值為5，

所以，或…………………………………………10分

解得滿足題意

 

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已知函數(shù)：f(x)=
x-a+1
a-x
（a為常數(shù)）．
（1）當(dāng)f（x）的定義域為[a+
1
2
，a+1]時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）試問：是否存在常數(shù)m使得f（x）+f（m-x）+2=0對定義域內(nèi)的所有x都成立；若有求出m，若沒有請說明理由．
（3）如果一個函數(shù)的定義域與值域相等，那么稱這個函數(shù)為“自對應(yīng)函數(shù)”．若函數(shù)f（x）在[s，t]（a＜s＜t）上為“自對應(yīng)函數(shù)”時，求實數(shù)a的范圍．

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已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，有（其中為自然對數(shù)的底，）．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)，，求證：當(dāng)時，；

（3）試問：是否存在實數(shù)，使得當(dāng)時，的最小值是3？如果存在，求出實數(shù)的值；如果不存在，請說明理由．

 

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已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，有（其中為自然對數(shù)的底，）．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)，，求證：當(dāng)時，；
（3）試問：是否存在實數(shù)，使得當(dāng)時，的最小值是3？如果存在，求出實數(shù)的值；如果不存在，請說明理由．

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第I卷（選擇題共50分）

一、選擇題：本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中有且只有一項是符合題目要求的.

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

總分

答案

D

B

C

C

C

D

B

D

B

D

 

第Ⅱ卷（非選擇題共100分）

二、填空題:本大題共7個小題，每小題4分，共28分，將答案填寫在題中的橫線上.

    11．  0                          12．                    

    13．     -1                       14．            

15.                16.                 17.___ ④____

三、解答題:本大題共5個小題，第18-21題每小題14分，第22題16分,共72分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟

18、數(shù)列滿足:

(Ⅰ)記,求證:是等比數(shù)列;(Ⅱ)求數(shù)列的通項公式;

解：(Ⅰ)

，是等比數(shù)列;

(Ⅱ)

19、如圖,平面四邊形ABCD中, AB=13, AC=10, AD=5,,=120,

(Ⅰ) 求;  (Ⅱ) 設(shè)求實數(shù)x、y的值.

解：(Ⅰ)設(shè)

(Ⅱ)

（其他方法解對同樣給分）

20、如圖，正三棱柱ABC―A1B1C1的各棱長都相等，D、E分別是CC1和AB1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上且滿足BF∶FC=1∶3 

(Ⅰ)若M為AB中點(diǎn)，求證  BB1∥平面EFM；

(Ⅱ)求證  EF⊥BC；

(Ⅲ)求二面角A1―B1D―C1的大小 

(1)    證明 連結(jié)EM、MF，∵M、E分別是正三棱柱的棱AB

（和AB1的中點(diǎn)，

∴BB1∥ME，又BB1平面EFM，∴BB1∥平面EFM 

(2)證明  取BC的中點(diǎn)N，連結(jié)AN由正三棱柱得  AN⊥BC，

又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中點(diǎn)，故MF∥AN，

∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME 

∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，

又EF平面EFM，∴BC⊥EF 

(3)解  取B1C1的中點(diǎn)O，連結(jié)A1O知，A1O⊥面BCC1B1，由點(diǎn)O作B1D的垂線OQ，垂足為Q，連結(jié)A1Q，由三垂線定理，A1Q⊥B1D，故∠A1QD為二面角A1―B1D―C的平面角，易得∠A1QO=arctan 

（建立坐標(biāo)系解對同樣給分）

21、已知點(diǎn)D在定線段MN上，且|MN|＝3，|DN|＝1，一個動圓C過點(diǎn)D且與MN相切，分別過M、N作圓C的另兩條切線交于點(diǎn)P．

（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求點(diǎn)P的軌跡方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)M作直線l與所求軌跡交于兩個不同的點(diǎn)A、B，

若=λ，且λ∈[2－，2＋]，記直線l

與直線MN夾角為θ，求的取值范圍．

解：（Ⅰ）以直線MN為x軸，MN的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，

建立直角坐標(biāo)系xOy．　

∵PM－PN＝(PE＋EM)－(PF＋FN)＝MD－ND＝1

或PM－PN＝(PE＋EM)－(PF＋FN)＝MD－ND＝－1

∴點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，實軸長為1的雙曲線（不包含頂點(diǎn)），

其軌跡方程為（y≠0）　

（Ⅱ）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x1＋2，y1)，＝(x2＋2，y2)

設(shè)AB：my＝x＋，代入得，3(my－)2－y2－2＝0，

即(8m2－1)y2－24my＋16＝0．

∴　＝λ，y1＝-λy2，∴　

得，，

∴∈[-2，0]，即

∴　，故

22、已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，有

（其中為自然對數(shù)的底，）．

（Ⅰ）若,求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）試問：是否存在實數(shù)，使得當(dāng)，的最小值是？如果存在，求出實數(shù)的值；如果不存在，請說明理由．

（Ⅲ）設(shè)（），求證：當(dāng)時，；

解：（Ⅰ）當(dāng)時，，故有，由此及是奇函數(shù)得，因此，函數(shù)的解析式為；

（Ⅱ）當(dāng)時，：

①若，則在區(qū)間上是減函數(shù)，故此時函數(shù)在區(qū)間上沒有最小值；

②若，則令，且在區(qū)間上是減函數(shù)，而在區(qū)間上是增函數(shù)，故當(dāng)時，．

令．

綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值是3．

（Ⅲ）證明：令。當(dāng)時，注意到，故有

．

       ①當(dāng)時，注意到，故

；

       ②當(dāng)時，有，故函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，從而有

。

       因此，當(dāng)時，有。

       又因為是偶函數(shù)，故當(dāng)時，同樣有，即．

       綜上所述，當(dāng)時，有；

 


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