題目列表(包括答案和解析)
已知:如圖,一等邊三角形ABC紙片的邊長為2a,E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn),(點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合),過點(diǎn)E作EF∥BC,交AC于點(diǎn)F,設(shè)EF=x.
(1)用x的代數(shù)式表示△AEF的面積;
(2)將△AEF沿EF折疊,折疊后與四邊形BCFE重疊部分的面積為y,求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
一、選擇題(本題共32分,每小題4分)
1-5. BCCBB 6-8. DCA
二、填空題(本題共18分,每小題3分)
題號(hào)
9
10
11
12
答案
ab(a+1)(a-1)
真
A
60°
13
2n-1
三、解答題(共5道小題,每小題5分,共25分)
13、計(jì)算:-2cos30°+()-2-?1-?
解:原式=3-2×+4 -(-1) ………………………4分
= 3-+4-+1
= +5 ………………………………5分
14、求不等式組的整數(shù)解
解:由 x-2(x-1)≤3
得 x≥-1 ……………………………………………2分
由 x+1>x
得 x<2 ……………………………………………4分
∴不等式的整數(shù)解為-1、0、1 ……………………………5分
15、證明:在等腰梯形ABCD中
∵ AB∥CD AD=CB ,
∴ ∠DAB=∠CBA ……………1分
又 ∵∠CDA+∠DAB=180°
∠CBA+∠CBE=180°
∴∠CDA=∠CBE ………………2分
又∵ BE=DC …………………3分
∴△ADC≌△CBE …………4分
∴AC=CE ……………………5分
16、已知2x+y=0,求分式 .(x+y)的值.
解:.(x+y)=. (x+y)= ………………………2分
當(dāng) 2x+y=0時(shí) ,y=-2x, …………………………………4分
原式===-1 …………………………………5分
17、解:(1)設(shè)反比例函數(shù)解析式為y = (k≠0)
把M(1,3)點(diǎn)代入y= 解得k=3
∴反比例函數(shù)解析式為y= …………………………………2分
設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+2 (k≠0)
把M(1,3)點(diǎn)代入y=kx+2 解得k=1
∴一次函數(shù)解析式為y=x+2 ………………………………4分
(2)x的取值范圍是 0<x< 1 …………………………5分
四、解答題(共2道小題,每小題5分,共10分)
18、 (1) AE⊥CF ………………………………1分
證明:連結(jié)AF
∵ AC=BC
又∵△ABC沿BC方向向右
平移BC長的距離
∴AC=CE=EF=AF …
∴ 四邊形ACEF是菱形 ………………………………2分
∴ AE⊥CF
(2)作AD⊥BC于D …………………………………3分
∵tan∠ACB=
設(shè) AD=3K DC=4K
在Rt△ADC中 ,AC=10
∵ AD2+DC2=AC2
∴ K=2
∴ AD=6cm DC=8cm …………4分
∴ BD=2
在Rt△ADB中,根據(jù)勾股定理
∴ AB=2 cm …………………5分
19、 (1)證明:連結(jié)OC …………………1分
∵PD⊥AE于D
∴∠DCE+∠E=900
∵ AB=AE , OB=OC
∴∠CBA=∠E=∠BCO
又∵∠DCE=∠PCB
∴∠BCO+∠PCB=900
∴PD是⊙O的切線 ……………2分
(2)解:連結(jié)AC ………………3分
∵ AB=AE=5 AB是⊙O的直徑
BE=6
∴ AC⊥BE且EC=BC=3
∴ AC=4
又 ∵ ∠CBA=∠E ∠EDC=∠ACB=90°
∴△ EDC∽△BCA ………………4分
∴=
即=
∴ DC= ………………………………5分
五、解答題(本題滿分6分)
20、解:(1)本次調(diào)查的樣本是
所抽取的200名學(xué)生捐贈(zèng)圖書的情況; …………………………1分
(2)人均捐贈(zèng)圖書最多的是初二年級(jí); …………………………2分
(3)200×35%×5=350(冊);
答:初三年級(jí)學(xué)生共捐贈(zèng)圖書350冊 . …………………………4分
(4)1000×35%×4.5+1000×35%×5+1000×30%×6=5125(冊)
答:估計(jì)全校共捐贈(zèng)圖書5125冊. …………………………6分
六、解答題(共2道小題,第21題滿 分5分,第22題滿分4分)
21、(本題滿分5分)
解:設(shè)這列火車原來的速度為每小時(shí)x千米………1分
-= ……………………………2分
12x=900
x=75 ………………………………3分
經(jīng)檢驗(yàn) x=75 是原方程的解 ………………………4分
答:設(shè)這列火車原來的速度為每小時(shí)75千米.……5分
22、(本題滿分4分)
解:(1)b2-4ac=-12m+9≥0
∴ m≤ ………………………………1分
又 ∵ m2≠0
∴ m≤且m≠0 …………………………2分
(2)S=+==2m-3
∴ m= 即 ≤
∴S≤- …………………………3分
又 ∵ m≠0 即 ≠0
∴S≠-3
∴S≤-且S≠-3 ……………………4分
七、解答題(共2道小題,每小題7分,共14分)
23、(1)解:在等邊△ABC中
作AD⊥BC于D,交EF于H
∴ BD=DC=
又∵ tan60°=
∴ AD=a ………1分
∵ EF∥BC
∽
∴ =
=
∴ AH=x ………………………………2分
∴ S△AEF=AH×EF
S△AEF=x2=x2 ………………………………3分
(2) 解:①當(dāng)折疊后△AEF的頂點(diǎn)A落在四邊形BCFE內(nèi)或BC邊上時(shí)
y=x2 (0<x≤a ) …………………………4分
②當(dāng)折疊后△AEF的頂點(diǎn)A落在四邊形BCFE外點(diǎn)A′處時(shí),
A′F交BC于M, A′E交BC于N,連結(jié)AA′交EF于H,
交BC于D
∴ =
∴ =
又 ∵ AH= A′H
∴ =
∴ =
∴ =2 ………………………………5分
=
∴ S△A’MN=
∴ S四邊形MFEN=x2- …………………………………6分
∴ y=- (a<x<2a ) ……………………7分
24、解:(1)當(dāng)x=0和x=4時(shí),均有函數(shù)值y=3,
∴ 函數(shù)的對稱軸為x=2
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)
即對應(yīng)關(guān)系滿足y=(x-2)2-1,
∴ y=x2-4x+3 ……………………………1分
∴當(dāng)x=-1時(shí),y=8;x=1時(shí),y=0;x=3時(shí),y=0
x
……
-1
0
1
2
3
4
……
x2+bx+c
……
8
3
0
-1
0
3
……
…………………………2分
(2) 解:函數(shù)圖像與x軸交于A(1,0)、B(3,0);
與y軸交于點(diǎn)C(0,3)
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0),則PB=3-x ………3分
∴S△BCP=(3-x)
∵PE∥AC
∴△BEP∽△BCA 作EF⊥OB于F……4分
∴=
即=
∴ EF=(3-x) ……………………………………5分
∴S△BPE=BP?EF=(3-x)2
∵S△PEC= S△BCP-S△BPE …………………………………………6分
∴S△PEC =(3-x)-(3-x)2
S△PEC =-x2+3x-=-(x-2)2+
∴當(dāng)x=2時(shí),y最大=
∴ P點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0) …………………………………7分
八、解答題(本題滿分8分)
25、(1) DE2=BD2+EC2 ……………………………………1分
證明:根據(jù)△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)
針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE’
∴ △AEC≌△ABE’ ……………………2分
∴ BE’=EC, A E’=AE
∠C=∠AB E’ , ∠EAC=∠E’AB
在Rt△ABC中
∵ AB=AC
∴ ∠ABC=∠ACB=45°
∴ ∠ABC+∠AB E’=90°
即 ∠E’BD=90° ………………………3分
∴ E’B2+BD2= E’D2
又∵ ∠DAE=45°
∴ ∠BAD+∠EAC=45°
∴ ∠E’AB+∠BAD=45°
即 ∠E’AD=45°
∴ △A E’D≌△AED
∴ DE=D E’
∴ DE2=BD2+EC2 ……………………………4分
(2)關(guān)系式DE2=BD2+EC2仍然成立 ………5分
證明:將△ADB沿直線AD對折,
得△AFD,連FE
∴ △AFD≌△ABD ……………6分
∴AF=AB,FD=DB
∠FAD=∠BAD,∠AFD=∠ABD
又∵AB=AC,∴AF=AC
∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°
∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-(∠DAE-∠DAB)= 45°+∠DAB
∴ ∠FAE=∠EAC
又∵ AE=AE
∴△AFE≌△ACE
∴ FE=EC , ∠AFE=∠ACE=45°
∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°
∴ ∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90° …………………7分
∴在Rt△DFE中
DF2+FE2=DE2
即DE2=BD2+EC2 …………………………………………………8分
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