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題目列表(包括答案和解析)

求證:

 

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求證:;

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(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求證:.

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13、求證:兩條異面直線不能同時(shí)和一個(gè)平面垂直;

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求證:(1)a2+b2+3≥ab+
3
(a+b)
;         
(2)
6
+
7
2
2
+
5

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一、選擇題:(每小題5分,共50分)

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

A

D

D

A

B

C

C

D

二、填空題:(每小題5分,共30分)

11. ; 12. ;  13. ; 14. 2或;  15. ;  16.  9.

三、解答題:(5大題,共70分)

17.(1)由,得------------3分

為銳角,, -------5分

                                   --------------------------6分

(2) ---8分

,,得,       --------------------------10分

          --------------------------12分

(若通過得出,求出

未舍去,得兩解,扣2分.)

18.(1)設(shè)點(diǎn),由,,

,得,         ------------------------4分

.                              ---------------------6分

(2)由(1)知為拋物線的焦點(diǎn),為過焦點(diǎn)的直線與的兩個(gè)交點(diǎn).

①當(dāng)直線斜率不存在時(shí),得,.      ----8分

②當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí),設(shè),代入

.設(shè),

,得,    ----12分

(或

,此時(shí),由

。                                 ---------------14分

19.解法一:

(1)在中,,

,取中點(diǎn)

,

中,,,又均為銳角,∴,                             ---------------2分

,又外, .      ---------------4分

(2)∵平面平面,∴,過,連結(jié),則,

為二面角的平面角,               ------------------------6分

易知=,∴,

二面角的大小為.          ------------------------9分

(其它等價(jià)答案給同樣的得分)

(3),點(diǎn)到平面的距離,就是到平面的距離,-------------------------------11分

,則,的長度即為所求, 由上 (或用等體積求)----------------------------------14分

解法二:

如圖,建立圖示空間直角坐標(biāo)系.

,,,,.

(1)

(2)利用,其中分別為兩個(gè)半平面的法向量,

或利用求解.

    (3)利用,其中為平面的法向量。

20.(1),∴    ①

,∴,即    ②

由①②得,.又時(shí),①、②不成立,故.------2分

,設(shè)x1、x2是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),則x1、x2是方程=0的兩個(gè)根,,

x1+x2=,又∵ A、O、B三點(diǎn)共線, =

=0,又∵x1x2,∴b= x1+x2=,∴b=0. ----------------6分

(2)時(shí),,                          -----------------------7分

,可知上單調(diào)遞增,在

上單調(diào)遞減, .  ---------------------9分

①由的值為1或2.(∵為正整數(shù))   -----------------11分

時(shí),記上切線斜率為2的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,

則由,依題意得,

矛盾.

(或構(gòu)造函數(shù)上恒正)

綜上,所求的值為1或2.                           -----------------------14分

21.(1)∵為正數(shù),  ①,=1,∴>0(n∈N*),……… 1分

  又 ②,①―②兩式相減得,

  ∴同號(hào),                            ---------------------4分

  ∴對(duì)n∈N*恒成立的充要條件是>0.         ---------------------7分

  由=>0,得>7 .                        ---------------------8分

 

 

(2)證法1:假設(shè)存在,使得對(duì)任意正整數(shù)都有 .

,則>17 .                                   --------------------9分

另一方面,==,---------11分

,,……,

,∴=, ①

--------------------------------14分

當(dāng)m>16時(shí),由①知,,不可能使對(duì)任意正整數(shù)n恒成立,

--------------------------------15分

∴m≤16,這與>17矛盾,故不存在m,使得對(duì)任意正整數(shù)n都有 .

--------------------------------16分

(2)證法2:假設(shè)存在m,使得對(duì)任意正整數(shù)n都有 .

,則>17 .                                 --------------------9分

另一方面,,       ------------------11分

,,……,,

           ①            -----------------14分

當(dāng)m>16時(shí),由①知,,不可能使對(duì)任意正整數(shù)恒成立,

--------------------------15分

∴m≤16,這與>17矛盾,故不存在m,使得對(duì)任意正整數(shù)n都有 。                               -----------------------------16分

 


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