題目列表(包括答案和解析)
(I)設(shè)是各項均不為零的等差數(shù)列,且公差,若將此數(shù)列刪去某一項得到的數(shù)列(按原來的順序)是等比數(shù)列:
①當時,求的數(shù)值;②求的所有可能值;
(II)求證:對于一個給定的正整數(shù),存在一個各項及公差都不為零的等差數(shù)列,其中任意三項(按原來的順序)都不能組成等比數(shù)列。
(文)
設(shè)函數(shù),其圖象在點,處的切線的斜率分別為
(I)求證:;
(II)若函數(shù)的遞增區(qū)間為,求||的取值范圍;
(III)若當時(是與無關(guān)的常數(shù)),恒有,試求的最小值。
(I)設(shè)是各項均不為零的等差數(shù)列,且公差,若將此數(shù)列刪去某一項得到的數(shù)列(按原來的順序)是等比數(shù)列:
①當時,求的數(shù)值;②求的所有可能值;
(II)求證:對于一個給定的正整數(shù),存在一個各項及公差都不為零的等差數(shù)列,其中任意三項(按原來的順序)都不能組成等比數(shù)列。
(本小題滿分13分)
品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試,一種通常采用的測試方法如下:拿出瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗,要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序;經(jīng)過一段時間,等其記憶淡忘之后,再讓其品嘗這瓶酒,并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序,這稱為一輪測試。根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評為。
現(xiàn)設(shè),分別以表示第一次排序時被排為1,2,3,4的四種酒在第二次排序時的序號,并令
,
則是對兩次排序的偏離程度的一種描述。
(Ⅰ)寫出的可能值集合;
(Ⅱ)假設(shè)等可能地為1,2,3,4的各種排列,求的分布列;
(Ⅲ)某品酒師在相繼進行的三輪測試中,都有,
(i)試按(Ⅱ)中的結(jié)果,計算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率(假定各輪測試相互獨立);
(ii)你認為該品酒師的酒味鑒別功能如何?說明理由。
一、選擇題
1. B 2. C 3. A 4. D 5. C 6. D 7. B 8. C 9. A 10. D
二、填空題
11. 192 12. 286 13. 14. 15. 840 16.
三、解答題
17. (本題12分)
解:(I)
2分
(II)
8分
由已知條件
根據(jù)正弦定理,得 10分
12分
18. (本題12分)
解:(I)在7人中選出3人,總的結(jié)果數(shù)是種, (2分)
記“被選中的3人中至多有1名女生”為事件A,則A包含兩種情形:
①被選中的是1名女生,2名男生的結(jié)果數(shù)是,
②被選中的是3名男生的結(jié)果數(shù)是 4分
至多選中1名女生的概率為 6分
(II)由題意知隨機變量可能的取值為:0,1,2,3,則有
,
8分
∴
0
1
2
3
P
10分
∴的數(shù)學期望 12分
19. (本題12分)
解:(I)連接PO,以O(shè)A,OB,OP所在的直線為x軸,y軸,z軸
建立如圖所示的空間直角坐標系。 2分
∵正四棱錐的底面邊長和側(cè)棱長都是2。
∴
∴
(II)∵
∴是平面PDB的一個法向量。 8分
由(I)得
設(shè)平面BMP的一個法向量為
則由,得
,不妨設(shè)c=1
得平面BMP的一個法向量為 10分
∵二面角M―PB―D小于90°
∴二面角M―PB―D的余弦值為 12分
20. (本題12分)
解:(I)由已知得
2分
由,得 4分
即。解得k=50或(舍去)
6分
(II)由,得
8分
9分
是等差數(shù)列
則
11分
12分
21. (本題14分)
解:(I)依題意得
2分
把
解得
∴橢圓的方程為 4分
(II)由(I)得,設(shè),如圖所示,
∵M點在橢圓上,
∴ ①
∵M點異于頂點A、B,
∴
由P、A、M三點共線,可得,
從而 7分
∴ ② 8分
將①式代入②式化簡得 10分
∵
∴ 12分
于是∠MBP為銳角,從而∠MBN為鈍角,
∴點B在以MN為直徑的圓內(nèi)。 14分
22. (本題14分)
解:(I),
令 2分
而
∴當 4分
(II)設(shè)函數(shù)g(x)在[0,2]上的值域是A,
∵若對任意
∴ 6分
①當,
∴函數(shù)上單調(diào)遞減。
∵
∴; 8分
②當
令(舍去) 9分
(i)當時,的變化如下表:
(ii)當
∴函數(shù)g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減。
綜上可知,實數(shù)a的取值范圍是
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