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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB = 90°. AC = BC = a，

    D、E分別為棱AB、BC的中點， M為棱AA1­上的點，二面角M―DE―A為30°.

   （1）求MA的長；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

   （2）求點C到平面MDE的距離。

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(本小題滿分12分)某校高2010級數(shù)學培優(yōu)學習小組有男生3人女生2人，這5人站成一排留影。

（1）求其中的甲乙兩人必須相鄰的站法有多少種? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

（2）求其中的甲乙兩人不相鄰的站法有多少種?

（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少種 ?

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(本小題滿分12分)

某廠有一面舊墻長14米,現(xiàn)在準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形,面積為126平方米的廠房,工程條件是①建1米新墻費用為a元；②修1米舊墻的費用為元；③拆去1米舊墻,用所得材料建1米新墻的費用為元,經(jīng)過討論有兩種方案: (1)利用舊墻的一段x米（x＜14）為矩形廠房一面的邊長；(2)矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14.問如何利用舊墻,即x為多少米時,建墻費用最省?(1)、(2)兩種方案哪個更好?

 

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(本小題滿分12分)

已知a,b是正常數(shù), a≠b, x，y(0,＋∞).

   (1)求證:≥,并指出等號成立的條件；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           

   (2)利用(1)的結論求函數(shù)的最小值,并指出取最小值時相應的x 的值.

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(本小題滿分12分)

已知a＝(1,2), b＝(－2,1),x＝a＋b，y=－ka＋b (kR).

   (1)若t=1,且x∥y,求k的值；

   (2)若tR ＋，x?y＝5,求證k≥1.

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一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

1.B         2.C         3.A         4.A       5.B       6.C      7.D     8.C

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9.0.3                 10.－1               11.4

12.24；81             13.1；45°          14.2 |x|

注：兩空的題目，第一個空2分，第二個空3分.

三、解答題：本大題共6小題，共80分.

15.(本小題滿分12分)

(Ⅰ)解：

∵函數(shù)f(x)=asinx+bcosx的圖象經(jīng)過點，

∴          2分  即                   4分

解得a=1，b=－.                                                         6分

(Ⅱ)解：

由(Ⅰ)得f(x)=sinx－cosx=2sin（）.                                   8分

∵0≤x≤π，              ∴－                               9分

當x－，即x=時，sin取得最大值1.                        11分

∴f(x)在[0，π]上的最大值為2，此時x=.                                   12分

16.(本小題滿分13分)

(Ⅰ)解：

記“甲投球命中”為事件A，“乙投球命中”為事件B，則A，B相互獨立，

且P(A)=，P(B)=.

那么兩人均沒有命中的概率P=P()=P()P()=.         －5分

(Ⅱ)解：

記“乙恰好比甲多命中1次”為事件C，“乙恰好投球命中1次且甲恰好投球命中0次”為事件C1，“乙恰好投球命中2次且甲恰好投球命中1次”為事件C2，則C=C1+C2，C1，C2為互斥事件.

，                                             8分

?                                           11分

P(C)=P(C1)+P(C2)=.                                                        13分

17.(本小題滿分13分)

解法一：

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    • 連結BD.

    ∵ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，

    ∴B1B⊥平面ABCD，

    ∴BD是B1D在平面ABCD上的射影，

    ∵AC⊥BD，

    根據(jù)三垂線定理得，AC⊥B1D.              5分

    (Ⅱ)解：

    設AC∩BD=F，連結EF.

    ∵DE⊥平面ABCD，且AC⊥BD，

    根據(jù)三垂線定理得AC⊥FE，    又AC⊥FB，

    ∴∠EFB是二面角E－AC－B的平面角.                                       －9分

    在Rt△EDF中，由DE=DF=，得∠EFD=45°.                                12分

    ∴∠EFB=180°－45°=135°，

    即二面角E－AC－B的大小是135°.                                            13分

    解法二：

    ∵ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，

    • 
   
    
    
    
    
    
    如圖，以D為原點，直線DA，DC，DD1分別為x軸，
    y軸，z軸，建立空間直角坐標系.             1分
    D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，
    B1(1,1，).                               3分
    (Ⅰ)證明：
    ∵=（－1，1，0）， 
，
    ∴=0，
    ∴AC⊥B1D.                                      
                     6分
    (Ⅱ)解：
    連結BD，設AC∩BD=F，連結EF.
    ∵DE⊥平面ABCD，且AC⊥BD，
    ∴AC⊥FE，AC⊥FB，
    ∴∠EFB是二面角E－AC－B的平面角.                                        
9分
    ∵底面ABCD是正方形     ∴F,
    ∴，                                      12分
    ∴二面角E-AC-B的大小是135°                                      
       13分
    18.(本小題滿分14分)
    (Ⅰ)解：
    ∵a1=3，an=－an－1－2n+1(n≥2，且n∈N*)，
    ∴a2=－a1－4+1=－6，                  
2分   a3=－a2－6+1=1.              
4分
    (Ⅱ)證明：
    ∵
    ∴數(shù)列{an+n}是首項為a1+1=4，公比為－1的等比數(shù)列.                          7分
    ∴an+n=4?(－1)n－1, 即an=4?(－1)n－1－n，
    ∴{an}的通項公式為an=4?(－1)n－1－n(n∈N*).                                  
9分
    (Ⅲ)解：
    ∵{an}的通項公式an=4?(－1)n－1－n(n∈N*)，
    所以當n是奇數(shù)時，Sn=?12分
    當n是偶數(shù)時，Sn=?(n2+n).
    綜上，Sn=         
                           14分
    19.(本小題滿分14分)
    (Ⅰ)解：
    依題意，直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=kx+，
    將其代入x2=2y，消去y整理得x2－2kx－1=0.                       
          2分
    設A,B的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 
則x1x2=－1.        
              3分
    將拋物線的方程改寫為y=x2，求導得y′=x.
    所以過點A的切線l1的斜率是k1=x1，過點B的切線l2的斜率是k2=x2，
    因為k1k2=x1x2=－1，所以l1⊥l2.                 
                            6分
    (Ⅱ)解：
    直線l1的方程為y－y1=k1(x－x1)，即y－=x1(x－x1)，
    同理，直線l2的方程為y－=x2(x－x2)，
    聯(lián)立這兩個方程，消去y得=x2(x－x2)－x1(x－x1)，
    整理得(x1－x2)=0，注意到x1≠x2，所以x=.                  
10分
    此時)y=.                   
12分
    由(Ⅰ)知，x1+x2=2k,    所以x==k∈R，
    所以點M的軌跡方程是y=.                                             
14分
    20.(本小題滿分14分)
    (Ⅰ)解：
    f(x)的導數(shù)f′(x)=9x2－4.
    令f′(x)＞0，解得x＞，或x＜－；  令f′(x)＜0，解得－＜x＜.
    從而f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,；單調(diào)遞減區(qū)間為.    
3分
    (Ⅱ)解:
    由f(x)≤0， 
得－a≥3x3－4x+1.                                 
              4分
    由(Ⅰ)得，函數(shù)y=3x3－4x+1在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
    從而當x=－時，函數(shù)y=3x3－4x+1取得最大值.          
                 6分
    因為對于任意x∈[－2，0]，不等式f(x)≤0恒成立，
    故－a≥，即a≤－，
    從而a的最大值是－.                                                    8分
    (Ⅲ)解：
    當x變化時，f(x)，f′(x)變化情況如下表：
    x
    f′(x)
    +
    0
    －
    0
    +
    f(x)
    ㄊ
    極大值a+
    ㄋ
    極小值a
    ㄊ
    ①由f(x)的單調(diào)性，當極大值a+＜0或極小值a＞0時，方程f(x)=0最多有一個實數(shù)根；
    ②當a=－時，解方程f(x)=0，得x=－，x=,即方程f(x)=0只有兩個相異的實數(shù)根；
    ③當a=時，解方程f(x)=0，得x=,x=－，即方程f(x)=0只有兩個相異的實數(shù)根.
    如果方程f(x)=0存在三個相異的實數(shù)根，則解得
    a∈.               
                                           12分
    事實上，當a∈時，
    ∵f(－2)=－15+a＜－15+＜0，且f(2)，17+a＞17－＞0，
    所以方程f(x)=0在內(nèi)各有一根.
    綜上，若方程f(x)=0存在三個相異的實數(shù)根，則a的取值范圍是.        
14分
     
    		
    
	
	
    
		
    


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