(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)C的軌跡與雙曲線交于兩點(diǎn)M.N.且以MN為直徑的圓過原點(diǎn).求證, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的離心率為e，右準(zhǔn)線l與兩條漸近線交于P，Q兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F，且△PQF為等邊三角形．
（1）求雙曲線C的離心率e的值；
（2）若雙曲線C被直線y=ax+b截得的弦長(zhǎng)為
b2e2
a
，求雙曲線C的方程；
（3）設(shè)雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)（1，0），以F為左焦點(diǎn)，L為左準(zhǔn)線的橢圓，其短軸的端點(diǎn)為B，求BF中點(diǎn)的軌跡方程．

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設(shè)MN是雙曲線
x2
4
-
y2
3
=1的弦，且MN與x軸垂直，A1、A2是雙曲線的左、右頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線MA1和NA2的交點(diǎn)的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=x-1與軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，若軌跡C上的點(diǎn)P滿足
.
OP
=λ
.
OA
+μ
.
OB
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)，λ，μ∈R）
求證：λ2+μ2-
10
7
λμ為定值，并求出這個(gè)定值．

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設(shè)MN是雙曲線數(shù)學(xué)公式的弦，且MN與x軸垂直，A1、A2是雙曲線的左、右頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線MA1和NA2的交點(diǎn)的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=x-1與軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，若軌跡C上的點(diǎn)P滿足數(shù)學(xué)公式（O為坐標(biāo)原點(diǎn)，λ，μ∈R）
求證：數(shù)學(xué)公式為定值，并求出這個(gè)定值．

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設(shè)MN是雙曲線
x2
4
-
y2
3
=1的弦，且MN與x軸垂直，A1、A2是雙曲線的左、右頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線MA1和NA2的交點(diǎn)的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=x-1與軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，若軌跡C上的點(diǎn)P滿足
.
OP
=λ
.
OA
+μ
.
OB
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)，λ，μ∈R）
求證：λ2+μ2-
10
7
λμ為定值，并求出這個(gè)定值．

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設(shè)MN是雙曲線的弦，且MN與x軸垂直，A1、A2是雙曲線的左、右頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線MA1和NA2的交點(diǎn)的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=x-1與軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，若軌跡C上的點(diǎn)P滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)，λ，μ∈R）
求證：為定值，并求出這個(gè)定值．

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一.選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

D

C

B

B

C

A

C

B

A

二.填空題

11.      12. ②     13．       14. 120     15．

三.解答題

16．解：（Ⅰ）.  …………………………………3分

由，得． ………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得.  ………………8分

由,得.

當(dāng),即時(shí),函數(shù) 有最大值.  ……………………12分

17．解：設(shè)此工人一個(gè)季度里所得獎(jiǎng)金為，則是一個(gè)離散型隨機(jī)變量.由于該工人每月完成任務(wù)與否是等可能的,所以他每月完成任務(wù)的概率等于.   …………………2分

所以,  ,,

,.    …………8分

于是.

所以此工人在一個(gè)季度里所得獎(jiǎng)金的期望為153. 75元.     ……………………12分

18．解：（Ⅰ）取BC的中點(diǎn)H,連結(jié)PH, 連結(jié)AH交BD于E.

.    ……………………………2分

又面面,面.

  ,.

,.

,即.        ………………………………………………4分

因?yàn)锳H為PA在平面上的射影,.   ……………………………6分

（Ⅱ）連結(jié)PE,則由（Ⅰ）知.

為所求二面角的平面角.       ……………………………………………8分

在中,由,求得.

.

即所求二面角的正切值為.     …………………………………………………12分

另解：（Ⅰ)建系設(shè)點(diǎn)正確2分,求出兩個(gè)法向量2分,判斷正確2分;

(Ⅱ)求出兩個(gè)法向量3分,求出余弦值2分,求出正切值1分.

19. 解：（Ⅰ）設(shè),則

,.

即點(diǎn)C的軌跡方程為.    …………………………………………………3分

（Ⅱ）由題意.

. ……………5分

.

,

.       ……………………………8分

（Ⅲ）..

.

∴雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍是.   ………………………………………………12分

20．解: (Ⅰ)由已知得的定義域?yàn)?sub>,.   ………………2分

由題意得對(duì)一切恒成立,

      ……………………………………………5分

當(dāng)時(shí),,

.故.      …………………………………………7分

(Ⅱ)假設(shè)存在正實(shí)數(shù),使得成立.

.  …………………9分

由,得,.由于,故應(yīng)舍去.

當(dāng)時(shí),    ………………………………………11分

令,解得或.   …………………………13分

另解: 假設(shè)存在正實(shí)數(shù),使得成立.

設(shè),則.    ………………………9分

由,解得或.

因?yàn)?sub>,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

.    … ……………………………………11分

令,解得或.   …………………………13分

21．解：（Ⅰ）由已知，得.  

則數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.    ……………………………………………2分

又.   ……………………………………………4分

（Ⅱ）.   …………………6分

恒成立，則

解得

故存在常數(shù)A，B，C，滿足條件.       …………………………………………9分

   （Ⅲ）由（Ⅱ）知：

.    …………………14分

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