數(shù)列，滿足

（1）求，并猜想通項(xiàng)公式。

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想。

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。第一問利用遞推關(guān)系式得到，，，，并猜想通項(xiàng)公式

第二問中，用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想。

①對n=1，等式成立。

②假設(shè)n=k時(shí)，成立，

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

，所以當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立可證。

數(shù)列，滿足

（1），，，并猜想通項(xiàng)公。  …4分

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想。①對n=1，等式成立。  …5分

②假設(shè)n=k時(shí)，成立，

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

，             ……9分

所以

所以當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立                     ……11分

由①②知，猜想對一切自然數(shù)n均成立

 

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2,a_n+1=2a_n+2,用數(shù)學(xué)歸納法證明a_n=4×2^n-1-2的第二步中,設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即a_k=4×2^k-1-2,那么當(dāng)n=k+1時(shí), __________.

某同學(xué)回答“用數(shù)學(xué)歸納法證明＜n+1(n∈N)”的過程如下:

證明：(1)當(dāng)n=1時(shí),顯然命題是正確的;(2)假設(shè)n=k時(shí)有＜k+1,那么當(dāng)n=k+1時(shí),=(k+1)+1,所以當(dāng)n=k+1時(shí)命題是正確的,由(1)(2)可知對于n∈N,命題都是正確的.以上證法是錯(cuò)誤的,錯(cuò)誤在于(    )

A.當(dāng)n=1時(shí),驗(yàn)證過程不具體

B.歸納假設(shè)的寫法不正確

C.從k到k+1的推理不嚴(yán)密

D.從k到k+1的推理過程沒有使用歸納假設(shè)

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2,a_n+1=2a_n+2,用數(shù)學(xué)歸納法證明a_n=4×2^n-1-2的第二步中,設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即a_k=4×2^k-1-2,那么當(dāng)n=k+1時(shí), __________.

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=2a_n+2，用數(shù)學(xué)歸納法證明a_n=4·2^n-1-2的第二步中，設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即a_k=4·2^k-1-2，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，_______.