[例1] 如下圖.在三棱錐S-ABC中.SA⊥平面ABC.平面SAB⊥平面SBC. (1)求證:AB⊥BC, (2)若設(shè)二面角S-BC-A為45°.SA=BC.求二面角A-SC-B的大小. 證明(1):作AH⊥SB于H. ∵平面SAB⊥平面SBC. ∴AH⊥平面SBC. .又SA⊥平面ABC. ∴SA⊥BC.SA∩SB=S. ∴BC⊥平面SAB. ∴BC⊥AB. 解(2):∵SA⊥平面ABC.∴SA⊥BC. ∴平面SAB⊥BC.∠SBA為二面角S-BC-A的平面角. ∴∠SBA=45°.設(shè)SA=AB=BC=a.作AE⊥SC于E.連結(jié)EH. 由(1)知AH⊥平面SBC, ∴AE在面SBC內(nèi)的射影EH⊥SC.∠AEH為二面角A-SC-B的平面角. AH=a.AC=a.SC=a.AE=a. ∴sin∠AEH=.二面角A-SC-B為60°. [例2] 已知正三棱柱ABC-A1B1C1.若過面對角線AB1且與另一面對角線BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一邊A1C1于點(diǎn)D. (1)確定D的位置.并證明你的結(jié)論, (2)證明:平面AB1D⊥平面AA1D, (3)若AB∶AA1=.求平面AB1D與平面AB1A1所成角的大小. 分析:本題結(jié)論不定.是“開放性 的.點(diǎn)D位置的確定如果僅憑已知條件推理難以得出.由于AB1與BC1這兩條面對角線是相鄰二側(cè)面上的異面直線.于是可考慮將BC1沿BA平行移動.BC1取AE1位置.則平面AB1E1一定平行BC1.問題可以解決. (1)解:如下圖.將正三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成一直平行六面體ABCE-A1B1C1E1.由AE1∥BC1.AE1平面AB1E1.知BC1∥平面AB1E1.故平面AB1E1應(yīng)為所求平面.此時(shí)平面AB1E1交A1C1于點(diǎn)D.由平行四邊形對角線互相平行性質(zhì)知.D為A1C1的中點(diǎn). (2)證明:連結(jié)B1D.則B1D⊥A1C1;從直三棱柱定義知AA1⊥底面A1B1C1. ∴AA1⊥B1D, 又A1D∩AA1=A1. ∴B1D⊥平面AA1D.又B1D平面AB1D. ∴平面AB1D⊥平面AA1D. (3)解:因?yàn)槠矫鍭B1D∩平面AA1D=AD.所以過A1作A1H⊥AD于點(diǎn)H.作HF⊥AB1于點(diǎn)F.連結(jié)A1F.從三垂線定理知A1F⊥AB1. 故∠A1FH是二面角A1-AB1-D的平面角. 設(shè)側(cè)棱AA1=1.側(cè)棱AB=. 于是AB1== . 在Rt△AB1A1中.A1F===. 在Rt△AA1D中.AA1=1.A1D=A1C1=. AD== . ∴A1H==. 在Rt△A1FH中.sin∠A1FH==.∴∠A1FH=45°. 因此知平面AB1D與平面AB1A1所成角為450或1350. [例3]在四棱錐P-ABCD中.已知ABCD為矩形.PA ⊥平面ABCD.設(shè)PA=AB=1.BC=2.求二面角B-PC-D的大小. 解析1.定義法 過D作DE ⊥PC于E. 過E作EF ⊥PC.交BC于F.連接 FD.則 是所求二面角B-PC-D 的平面角.求解二面角B-PC-D的大小.只需解△DEF即可.所求角為 解析2.垂面法 易證面PAB⊥面PBC.過A作AM ⊥BP于M.顯然AM ⊥面PBC.從而有AM ⊥PC.同法可得AN ⊥PC.再由AM與AN相交與A得PC ⊥面AMN.設(shè)面AMN交PC于Q. 則為二面角B-PC-D的平面角, ∠MAN為它的補(bǔ)角.在三角形AMN中可解.計(jì)算較繁. 解析3.利用三垂線求解把四棱錐P-ABCD補(bǔ)成如圖的直三棱柱PAB-EDC.顯然二面角E-PC-D與二面角D-PC-B互補(bǔ).轉(zhuǎn)化為求二面角E-PC-D. 易證面PEDA ⊥PDC.過E作EF ⊥ PD 于F.顯然PF ⊥面PDC.在面PCE內(nèi). 過E作EG ⊥PC于G.連接GF.由三 線得GF⊥ PC 即為二面角E-PC-D的平面角.只需解△EFG即可. 解析4. 射影面積法.由解析3知.△PFC為△ PEC 在面PDC上的射影.由射影面積公式得 .所求角為 解析5.在面PDC內(nèi).分別過D.B作DE ⊥PC于E.BF ⊥PC于F.連接EF即可.利用平面知識求BF.EF.DE的長度.再利用空間余弦定理求出q 即可. ◆思悟提煉:想一想求二面角都用了哪些方法: [例4]由一點(diǎn)S引不共面的三條射線SA.SB.SC.設(shè)ÐASB=a.ÐBSC=b.ÐASC=g.其中a.b.g均為銳角.則平面ASB^平面BSC的充要條件是cosa×cosb=cosg． 證明:必要性．如圖(1), 過點(diǎn)A作AD^SB于D. ∵平面ASB^平面BSC, ∴AD^平面BSC． 過D作DE^SC于E.連AE.則AE^SC． 在Rt△ADS中.cosa=, 在Rt△DES中.cosb=, 例3． 在Rt△AES中.cosg=.由此可得 cosa×cosb=×==cosg． 必要性得證． 充分性．如圖2.過點(diǎn)A作AA1^SB于A1.過點(diǎn)A1作A1C1^SC于C1. 在Rt△AA1S中.cosa=, 在Rt△A1C1S中.cosb=; ∵cosg=cosa×cosb=×=, ∴SC1=SA×cosg． 過A作AC1¢^SC.垂足為C1¢.在Rt△AC1¢S中.SC1¢=SA×cosg． 由此得SC1¢=SC1.即C1¢與C1重合.故SC^AC1． 而SC^A1C1.且AC1IA1C1=C1. ∴SC^平面AA1C1.∴SC^AA1． 又∵SB^AA1.SBISC=S. ∴AA1^平面BSC.而AA1Ì平面ASB. ∴平面ASB^平面BSC．充分性得證． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

如下圖，在三棱錐S－ABC中，已知SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分別交AC、SC于D、E，又SA＝AB，SB＝BC，求以BD為棱，以△BDE與△BDC為面的二面角的大�。�

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如下圖，在三棱錐S－ABC中，平面SAC⊥平面ABC，且△SAC是正三角形，△ABC是等腰直角三角形，其中AC＝CB＝2a，O是AC的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：SO⊥AB；

(Ⅱ)求二面角B－SA－C的大小的正切值．

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精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB⊥底面ABC，且∠ASB=∠ABC=90°，AS=SB=2，AC=2
3
．

（Ⅰ）求證SA⊥SC；
（Ⅱ）在平面幾何中，推導(dǎo)三角形內(nèi)切圓的半徑公式r=
2S
l
（其中l(wèi)是三角形的周長，S是三角形的面積），常用如下方法（如右圖）：
①以內(nèi)切圓的圓心O為頂點(diǎn)，將三角形ABC分割成三個(gè)小三角形：△OAB，△OAC，△OB精英家教網(wǎng)C．
②設(shè)△ABC三邊長分別為a，b，c．由S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，
得S=
1
2
ar+
1
2
br+
1
2
cr=
1
2
lr，則r=
2S
l
．
類比上述方法，請給出四面體內(nèi)切球半徑的計(jì)算公式（不要求說明類比過程），并利用該公式求出三棱錐S-ABC內(nèi)切球的半徑．

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