30．已知m.n為正整數(shù). (Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)x>-1時(shí).(1+x)m≥1+mx, (Ⅱ)對(duì)于n≥6.已知.求證.m=1,1,2-.n, (Ⅲ)求出滿足等式3n+4m+-+(n+2)m=(n+3)n的所有正整數(shù)n. 解:(Ⅰ)證:當(dāng)x=0或m=1時(shí).原不等式中等號(hào)顯然成立.下用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)x>-1.且x≠0時(shí).m≥2,(1+x)m>1+mx. 1 (i)當(dāng)m=2時(shí).左邊＝1+2x+x2,右邊＝1+2x.因?yàn)閤≠0,所以x2>0.即左邊>右邊.不等式①成立, (ii)假設(shè)當(dāng)m=k(k≥2)時(shí).不等式①成立.即(1+x)k>1+kx,則當(dāng)m=k+1時(shí).因?yàn)閤>-1,所以1+x>0.又因?yàn)閤≠0,k≥2,所以kx2>0. 于是在不等式(1+x)k>1+kx兩邊同乘以1+x得 (1+x)k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x, 所以(1+x)k+1>1+(k+1)x,即當(dāng)m＝k+1時(shí).不等式①也成立. 綜上所述.所證不等式成立. (Ⅱ)證:當(dāng) 而由(Ⅰ). (Ⅲ)解:假設(shè)存在正整數(shù)成立. 即有()+＝1. ② 又由(Ⅱ)可得 ()+ +與②式矛盾. 故當(dāng)n≥6時(shí).不存在滿足該等式的正整數(shù)n. 故只需要討論n=1,2,3,4,5的情形, 當(dāng)n=1時(shí).3≠4.等式不成立, 當(dāng)n=2時(shí).32+42＝52.等式成立, 當(dāng)n=3時(shí).33+43+53＝63.等式成立, 當(dāng)n=4時(shí).34+44+54+64為偶數(shù).而74為奇數(shù).故34+44+54+64≠74,等式不成立, 當(dāng)n=5時(shí).同n=4的情形可分析出.等式不成立. 綜上.所求的n只有n=2,3. 【查看更多】

 

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(2007湖北，21)已知m，n為正整數(shù)．

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x＞－1時(shí)，；

(2)對(duì)于n≥6，已知，求證，m=1，2，…，n；

(3)求出滿足等式的所有正整數(shù)n．

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