已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：對(duì)任意正整數(shù)n，都有a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列，且a₁=10，a₂=15．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

b

n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ） 設(shè)Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，如果對(duì)任意正整數(shù)n，不等式2aSn＜2-

bn

an

恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：對(duì)任意正整數(shù)n，都有a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列，且a₁=10，a₂=15．
（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ） 設(shè)，如果對(duì)任意正整數(shù)n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，已知對(duì)任意n∈N*，S_n是a_n²和a_n的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜2；
（Ⅲ）設(shè)集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對(duì)滿足n＞m的一切正整數(shù)n，不等式S_n-1005＞

a 2 n

2

恒成立，求這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè)？