(本小題滿分14分)

已知函數是定義在上的周期函數，周期，函數是奇函數.

又知在上是一次函數，在上是二次函數，且在時函數取得最小值

.

(1)證明：；

(2)求的解析式；

(3)求的解析式.

(本小題滿分14分) 已知函數

（I）若 在其定義域是增函數，求b的取值范圍；

（II）在（I）的結論下，設函數的最小值；

（III）設函數的圖象C₁與函數的圖象C₂交于點P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N，問是否存在點R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由.

(本小題滿分14分)

已知函數，在定義域內有且只有一個零點，存在， 使得不等式成立. 若，是數列的前項和.

（I）求數列的通項公式；

（II）設各項均不為零的數列中，所有滿足的正整數的個數稱為這個數列的變號數，令（n為正整數），求數列的變號數；

（Ⅲ）設（且），使不等式

 恒成立，求正整數的最大值．

(本小題滿分14分) 已知函數

（I）若 在其定義域是增函數，求b的取值范圍；

（II）在（I）的結論下，設函數的最小值；

（III）設函數的圖象C₁與函數的圖象C₂交于點P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N，問是否存在點R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由.

(本小題滿分14分) 已知函數f (x)＝e^x－k－x，其中x∈R． (1)當k＝0時，若g(x)＝ 定義域為R，求實數m的取值范圍；(2)給出定理：若函數f (x)在[a，b]上連續(xù)，且f (a)·f (b)<0，則函數y＝f (x)在區(qū)間(a，b)內有零點，即存在x₀∈(a，b)，使f (x₀)＝0；運用此定理，試判斷當k>1時，函數f (x)在(k，2k)內是否存在零點．