在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過(guò)對(duì)同一面積的不同表達(dá)和比較，根據(jù)圖1和圖2發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了平方差公式和完全平方公式．
這種利用面積關(guān)系解決問(wèn)題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化．

【研究速算】
提出問(wèn)題：47×43，56×54，79×71，…是一些十位數(shù)字相同，且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？
幾何建模：
用矩形的面積表示兩個(gè)正數(shù)的乘積，以47×43為例：
（1）畫(huà)長(zhǎng)為47，寬為43的矩形，如圖3，將這個(gè)47×43的矩形從右邊切下長(zhǎng)40，寬3的一條，拼接到原矩形上面．
（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式：47×43的矩形面積或（40+7+3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43=（40+10）×40+3×7=5×4×100+3×7=2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個(gè)位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果．
歸納提煉：
兩個(gè)十位數(shù)字相同，并且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）______．
【研究方程】
提出問(wèn)題：怎樣圖解一元二次方程x²+2x-35=0（x＞0）？
幾何建模：
（1）變形：x（x+2）=35．
（2）畫(huà)四個(gè)長(zhǎng)為x+2，寬為x的矩形，構(gòu)造圖4
（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，（x+x+2）²或四個(gè)長(zhǎng)x+2，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長(zhǎng)為2的小正方形面積．
即（x+x+2）²=4x（x+2）+2²
∵x（x+2）=35
∴（x+x+2）²=4×35+2²
∴（2x+2）²=144
∵x＞0
∴x=5
歸納提煉：求關(guān)于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．
要求參照上述研究方法，畫(huà)出示意圖，并寫(xiě)出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫(huà)圖，并注明相關(guān)線段的長(zhǎng)）
【研究不等關(guān)系】
提出問(wèn)題：怎樣運(yùn)用矩形面積表示（y+3）（y+2）與2y+5的大小關(guān)系（其中y＞0）？
幾何建模：
（1）畫(huà)長(zhǎng)y+3，寬y+2的矩形，按圖5方式分割
（2）變形：2y+5=（y+3）+（y+2）
（3）分析：圖5中大矩形的面積可以表示為（y+3）（y+2）；陰影部分面積可以表示為（y+3）×1，畫(huà)點(diǎn)部分部分的面積可表示為y+2，由圖形的部分與整體的關(guān)系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5
歸納提煉：
當(dāng)a＞2，b＞2時(shí)，表示ab與a+b的大小關(guān)系．
根據(jù)題意，設(shè)a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0），要求參照上述研究方法，畫(huà)出示意圖，并寫(xiě)出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫(huà)圖并注明相關(guān)線段的長(zhǎng)）

估計(jì)這所學(xué)校有1500名學(xué)生知道母親的生日．??????????????????????????????????????????????????? （6分）

（3）略（語(yǔ)言表述積極進(jìn)取，健康向上即可得分）．?????????????????????????????????????????????? （7分）

２１．(本題滿分８分)

解：（1）如圖，由題意得，∠EAD=45°，∠FBD=30°．

∴ ∠EAC=∠EAD+∠DAC =45°+15°=60°．

∵  AE∥BF∥CD，

∴  ∠FBC=∠EAC=60°．

∴ ∠DBC=30°．　???????????????????????????????????????? 2分

又∵ ∠DBC=∠DAB+∠ADB，

　　∴ ∠ADB=15°．

∴ ∠DAB=∠ADB． ∴  BD=AB=2．

　　即B，D之間的距離為2km．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ４分

（2）過(guò)B作BO⊥DC，交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，

　　在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°．

　　∴ DO=2×sin60°=2×,BO=2×cos60°=1．??????????????????????????????????????????????????? ６分

　　在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=，

　　∴ CD=DO－CO=（km）．

　　即C，D之間的距離為km． ????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ８分

２２．解：（1）

（2）290，甲，20．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分（每空1分）

（3）在5月17日，甲廠生產(chǎn)帳篷50頂，乙廠生產(chǎn)帳篷30頂．???????????????????????????????????? 6分

設(shè)乙廠每天生產(chǎn)帳篷的數(shù)量提高了，則?????????????????????????????????????? 7分

．

答：乙廠每天生產(chǎn)帳篷的數(shù)量提高了．?????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

２３．解：（1）① 等邊三角形；②重疊三角形的面積為．?????????????????????????? 5分

（2）用含的代數(shù)式表示重疊三角形的面積為；?????????????????????????? 7分

的取值范圍為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（3）能；t=2。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１０分．

２４．本小題滿分1０分．

（Ⅰ）證明  將△沿直線對(duì)折，得△，連，

則△≌△．    ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

有，，，．

又由，得 ．  ????????????????????????????????????????? 2分

由，

，

得． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

又，

∴△≌△．    ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

有，．

∴．???????????????????????????????????????????????????????????? ５分

∴在Rt△中，由勾股定理，

得．即． ??????????????????????????????????????????????????????? ６分

（Ⅱ）關(guān)系式仍然成立．  ???????????????????????????????????????????????????????????? ７分

證明  將△沿直線對(duì)折，得△，連，

則△≌△． ???????????????????????????????????????????????????? 8分

有，，

，．

又由，得 ．

由，

．

得．   ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ８分

又，

∴△≌△．

有，，，

∴．  

∴在Rt△中，由勾股定理，

得．即．????????????????????????????????????????????????????????? ９分

（３）．能；在直線ＡＢ上取點(diǎn)Ｍ，Ｎ使∠ＭＣＮ＝４５°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１０分

２５．（本題滿分12分）

解：（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為cm，則

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

即．

解得（不合題意，舍去），．

剪去的正方形的邊長(zhǎng)為1cm．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（注：通過(guò)觀察、驗(yàn)證直接寫(xiě)出正確結(jié)果給3分）

（2）有側(cè)面積最大的情況．

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為cm，盒子的側(cè)面積為cm²，

則與的函數(shù)關(guān)系式為：

．

即．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

改寫(xiě)為．

當(dāng)時(shí)，．

即當(dāng)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為2.25cm時(shí)，長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積最大為40.5cm²．?????????????? 7分

（3）有側(cè)面積最大的情況．

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為cm，盒子的側(cè)面積為cm²．

若按圖1所示的方法剪折，則與的函數(shù)關(guān)系式為：

．

即．

當(dāng)時(shí)，．??????????????????????????????????? 9分

若按圖2所示的方法剪折，則與的函數(shù)關(guān)系式為：

．

即．

當(dāng)時(shí)，．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

比較以上兩種剪折方法可以看出，按圖2所示的方法剪折得到的盒子側(cè)面積最大，即當(dāng)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為cm時(shí)，折成的有蓋長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積最大，最大面積為cm²．

說(shuō)明：解答題各小題只給了一種解答及評(píng)分說(shuō)明，其他解法只要步驟合理，解答正確，均應(yīng)給出相應(yīng)分?jǐn)?shù)．

２６．（本小題滿分12分）

解：（1）在Rt△ABC中，，

由題意知：AP = 5－t，AQ = 2t，

若PQ∥BC，則△APQ ∽△ABC，

∴，

∴，

∴．                                 ??????????????????????????????????????????????????????? 3′

（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于H．

∵△APH ∽△ABC，

∴，

∴，

∴，

∴．    　  ??????????????????????????????????????????? 6′

（3）若PQ把△ABC周長(zhǎng)平分，

則AP+AQ=BP+BC+CQ．

∴，   

解得：．

若PQ把△ABC面積平分，

則，  即－＋3t=3．

∵ t=1代入上面方程不成立，

∴不存在這一時(shí)刻t，使線段PQ把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分．???????????????? 9′

（4）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，

若四邊形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC．

∵PM⊥AC于M，

∴QM=CM．

∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．

∴，  ∴，

∴，

∴，

∴，

解得：．

∴當(dāng)時(shí)，四邊形PQP ′ C 是菱形．     

此時(shí)，　，

在Rt△PMC中，，

∴菱形PQP ′ C邊長(zhǎng)為．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12′