兩縣城A和B相距20km.現(xiàn)計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠.其對城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān).對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和.記C點(diǎn)到城A的距離為x km.建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計調(diào)查表明:垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比.比例系數(shù)為4,對城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比.比例系數(shù)為k ,當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時.對城A和城B的總影響度為0.065. (1)將y表示成x的函數(shù), 中函數(shù)的單調(diào)性.并判斷弧上是否存在一點(diǎn).使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小?若存在.求出該點(diǎn)到城A的距離;若不存在.說明理由. 解法一:(1)如圖,由題意知AC⊥BC,, 其中當(dāng)時.y=0.065,所以k=9 所以y表示成x的函數(shù)為 (2),,令得,所以,即,當(dāng)時, ,即所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù),當(dāng)時, ,即所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).所以當(dāng)時, 即當(dāng)C點(diǎn)到城A的距離為時, 函數(shù)有最小值. 解法二: (1)同上. (2)設(shè), 則,,所以 當(dāng)且僅當(dāng)即時取 = . 下面證明函數(shù)在上為減函數(shù), 在上為增函數(shù). 設(shè)0<m1<m2<160,則 , 因為0<m1<m2<160,所以4>4×240×240 9 m1m2<9×160×160所以, 所以即函數(shù)在上為減函數(shù). 同理,函數(shù)在上為增函數(shù),設(shè)160<m1<m2<400,則 因為1600<m1<m2<400,所以4<4×240×240, 9 m1m2>9×160×160 所以, 所以即函數(shù)在上為增函數(shù). 所以當(dāng)m=160即時取 = ,函數(shù)y有最小值, 所以弧上存在一點(diǎn).當(dāng)時使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小. [命題立意]:本題主要考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,運(yùn)用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的 能力和運(yùn)用換元法和基本不等式研究函數(shù)的單調(diào)性等問題. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

(2009山東卷理)（本小題滿分12分）

兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān)，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計調(diào)查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k ,當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時，對城A和城B的總影響度為0.065.

（1）將y表示成x的函數(shù)；

（11）討論（1）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最��？若存在，求出該點(diǎn)到城A的距離;若不存在，說明理由。

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