[例1] {}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項和為,并且對于所有的自然數(shù),與2的等差中項等于與2的等比中項. (1)寫出數(shù)列{}的前3項; (2)求數(shù)列{}的通項公式; 錯解:由(1)猜想數(shù)列{}有通項公式=4-2. 下面用數(shù)學歸納法證明數(shù)列{}的通項公式是 =4-2. (∈N). ①當=1時,因為4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述結(jié)論成立. ②假設n=k時結(jié)論成立,即有=4-2.由題意,有 將=4-2代入上式.得.解得 由題意,有 將代入.化簡得 解得.∴ 這就是說,當n=k+1時,上述結(jié)論成立. 根據(jù)①.②,上述結(jié)論對所有的自然數(shù)n成立. 錯因在于解題過程中忽視了取值的取舍. 正解:由(1)猜想數(shù)列{an}有通項公式an=4n-2. 猜想數(shù)列{}有通項公式=4-2. 下面用數(shù)學歸納法證明數(shù)列{}的通項公式是 =4-2. (∈N). ①當=1時,因為4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述結(jié)論成立. ②假設n=k時結(jié)論成立,即有=4-2.由題意,有 將=4-2代入上式.得.解得 由題意,有 將代入.化簡得 解得.由∴ 這就是說,當n=k+1時,上述結(jié)論成立. 根據(jù)①.②,上述結(jié)論對所有的自然數(shù)n成立. [例2] 用數(shù)學歸納法證明對于任意自然數(shù). 錯解:證明:假設當(N)時.等式成立. 即. 那么當時. 這就是說.當時.等式成立． 可知等式對任意N成立． 錯因在于推理不嚴密.沒有證明當?shù)那闆r ． 正解:證明:(1)當時.左式.右式.所以等式成立． (2)假設當()時.等式成立. 即. 那么當時. 這就是說.當時.等式成立． 由.可知等式對任意N成立． [例3] 是否存在自然數(shù).使得對任意自然數(shù).都能被整除.若存在.求出的最大值.并證明你的結(jié)論,若不存在.說明理由． 分析 本題是開放性題型.先求出..-再歸納.猜想.證明． 解:. . . -- 猜想. 能被36整除.用數(shù)學歸納法證明如下: (1)當時..能被36整除． (2)假設當.(N)時.能被36整除． 那么.當時. 由歸納假設.能被36整除. 當為自然數(shù)時.為偶數(shù).則能被36整除． ∴ 能被36整除. 這就是說當時命題成立． 由對任意.都能被36整除． 當取大于36的自然數(shù)時.不能被整除.所以36為最大． [例4] 設點是曲線C:與直線的交點.過點作直線的垂線交軸于.過點作直線的平行線交曲線C于.再過點作的垂線作交X軸于.如此繼續(xù)下去可得到一系列的點..-..-如圖.試求的橫坐標的通項公式． 分析 本題并沒有指明求通項公式的方法.可用歸納--猜想--證明的方法.也可以通過尋求與的遞推關系式求的通項公式． 解:解法一 與(.)聯(lián)立.解得 直線的方程為. 令.得.所以點 直線的方程為與聯(lián)立.消元得().解得. 所以點(.)． 直線的方程為. 令.得.所以點 同樣可求得點(.0) -- 由此推測(.0).即 用數(shù)學歸納法證明 (1)當時.由點的坐標為(.0). 即.所以命題成立． (2)假設當時命題成立. 即.0).則當時. 由于直線的方程為. 把它與(.)聯(lián)立. 消去可得(). ∴ 于是 即點的坐標為(.)． ∴ 直線的方程為 令得. 即點的坐標為(.0) ∴ 當時.命題成立． 解法二 設點.的坐標分別為(.0).(.0). 建立與的遞推關系.即. 由數(shù)列是等差數(shù)列.且.公差 可求得().． 用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)n有關的幾何命題.由k過渡到k+1常利用幾何圖形來分析圖形前后演變情況． [例5] 有n個圓.其中每兩個圓都相交于兩點.并且每三個圓都不相交于同一點.求證:這n個圓把平面分成f(n)＝n2-n+2個部分． 證明①當n＝1時.即一個圓把平面分成二個部分f(1)=2 又n＝1時.n2-n+2＝2.∴命題成立 ②假設n＝k時.命題成立.即k個圓把平面分成f(k)＝k2-k+2個 部分.那么設第k+1個圓記⊙O.由題意.它與k個圓中每個圓 交于兩點.又無三圓交于同一點.于是它與其它k個圓相交于2k 個點．把⊙O分成2k條弧而每條弧把原區(qū)域分成2塊.因此這平 面的總區(qū)域增加2k塊.即f(k+1)＝k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2 即n＝k+1時命題成立． 由①②可知對任何n∈N命題均成立． 說明: 本題如何應用歸納假設及已知條件.其關鍵是分析k增加“1 時.研究第k+1個圓與其它k個圓的交點個數(shù)問題． [例6] 已知n≥2.n∈N ②假設n=k時.原不等式成立． 由①②可知.對任何n∈N.原不等式均成立． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

設{an}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項和為Sn,且對于所有的正整數(shù)n,有an=2-2.

(1)寫出數(shù)列{an}的三項;

(2)求數(shù)列{an}的通項公式,并寫出推證過程;

(3)令bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

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設{an}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項和為Sn,并且對于所有的正整數(shù)n,an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項.

(1)寫出數(shù)列{an}的前3項;

(2)求數(shù)列{an}的通項公式(寫出推證過程);

(3)令bn=()(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

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設{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，并且對于所有的自然數(shù)n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項．
（1）寫出數(shù)列{an}的前3項；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式（寫出推證過程）；
（3）令bn=
1
2
(
an+1
an
+
an
an+1
)(n∈N)，求
lim
n→∞
(b1+b2+…+bn-n)．

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設{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，并且對所有自然數(shù)n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項，寫出此數(shù)列的前三項：
 
，
 
，
 
．

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設{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，并且對于所有的n∈N+，都有8Sn=（an+2）2．
（1）寫出數(shù)列{an}的前3項；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式（寫出推證過程）；
（3）設bn=
4
an•an+1
，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求使得Tn＜
m
20
對所有n∈N+都成立的最小正整數(shù)m的值．

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