利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函f(x)=

x

x-1

，x∈[2，4]是單調(diào)遞減函數(shù)，并求函數(shù)的值域．

已知函數(shù)f（x）=mx³+nx²（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）求n，m的關(guān)系式并求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）證明：對任意實數(shù)0＜x₁＜x₂＜1，關(guān)于x的方程：f′(x)-

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=0在（x₁，x₂）恒有實數(shù)解
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點x₀，使得f′(x0)=

f(b)-f(a)

b-a

．如我們所學(xué)過的指、對數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理條件．試用拉格朗日中值定理證明：
當(dāng)0＜a＜b時，

b-a

b

＜ln

b

a

＜

b-a

a

（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．

若方程|a^x-1|=2a（0＜a≠1）有兩個不同的實根，利用函數(shù)圖象求常數(shù)a的取值范圍．