3.解法一: (1)證明:作交于.連. 則. 因為是的中點. 所以. 則是平行四邊形.因此有. 平面且平面. 則面.------.5分 (2)如圖.過作截面面.分別交于. 作于.連. 因為面.所以.則平面. 又因為. 所以.根據(jù)三垂線定理知.所以就是所求二面角的平面角. 因為.所以.故. 即:所求二面角的大小為.------.10分 解法二: (1)如圖.以為原點建立空間直角坐標(biāo)系. 則因為是的中點.所以. . 易知.是平面的一個法向量. 因為平面. 所以平面.------.5分 (2). 設(shè)是平面的一個法向量.則 則得: 取. 顯然.為平面的一個法向量. 則.結(jié)合圖形可知所求二面角為銳角. 所以二面角的大小是.------.10分 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.

(Ⅰ)證明PC⊥AD;

(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;

(Ⅲ)設(shè)E為棱PA上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.

 

【解析】解法一:如圖,以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).

(1)證明:易得,于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量,

,即.不防設(shè),可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

(3)設(shè)點E的坐標(biāo)為(0,0,h),其中,由此得.

,故 

所以,,解得,即.

解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.

(2)如圖,作于點H,連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,

因此所以二面角的正弦值為.

(3)如圖,因為,故過點B作CD的平行線必與線段AD相交,設(shè)交點為F,連接BE,EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,

中,由,,

可得.由余弦定理,,

所以.

 

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(理科做)
閱讀下面題目的解法,再根據(jù)要求解決后面的問題.
閱讀題目:對于任意實數(shù)a1,a2,b1,b2,證明不等式(a1b1+a2b22≤(a12+a22)(b12+b22).
證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(a1x+b12+(a2x+b22=(a12+a22)x2+2(a1b1+a2b2)x+(b12+b22).
注意到f(x)≥0,所以△=[2(a1b1+a2b2)]2-4(a12+a22)(b12+b22)≤0,
即(a1b1+a2b22≤(a12+a22)(b12+b22).
(其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a1x+b1=a2x+b2=0,即a1b2=a2b1.)
問題:(1)請用這個不等式證明:對任意正實數(shù)a,b,x,y,不等式
a2
x
+
b2
y
(a+b)2
x+y
成立.
(2)用(1)中的不等式求函數(shù)y=
2
x
+
9
1-2x
(0<x<
1
2
)
的最小值,并指出此時x的值.
(3)根據(jù)閱讀題目的證明,將不等式(a1b1+a2b22≤(a12+a22)(b12+b22)進(jìn)行推廣,得到一個更一般的不等式,并用構(gòu)造函數(shù)的方法對你的推廣進(jìn)行證明.

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(理科做)
閱讀下面題目的解法,再根據(jù)要求解決后面的問題.
閱讀題目:對于任意實數(shù)a1,a2,b1,b2,證明不等式(a1b1+a2b22≤(a12+a22)(b12+b22).
證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(a1x+b12+(a2x+b22=(a12+a22)x2+2(a1b1+a2b2)x+(b12+b22).
注意到f(x)≥0,所以△=[2(a1b1+a2b2)]2-4(a12+a22)(b12+b22)≤0,
即(a1b1+a2b22≤(a12+a22)(b12+b22).
(其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a1x+b1=a2x+b2=0,即a1b2=a2b1.)
問題:(1)請用這個不等式證明:對任意正實數(shù)a,b,x,y,不等式數(shù)學(xué)公式成立.
(2)用(1)中的不等式求函數(shù)數(shù)學(xué)公式的最小值,并指出此時x的值.
(3)根據(jù)閱讀題目的證明,將不等式(a1b1+a2b22≤(a12+a22)(b12+b22)進(jìn)行推廣,得到一個更一般的不等式,并用構(gòu)造函數(shù)的方法對你的推廣進(jìn)行證明.

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