小船渡河問題分析 [例9]一條寬度為L的河.水流速度為vs.已知船在靜水中的航速為vc.那么.(1)怎樣渡河時間最短?(2)若vs＜vc怎樣渡河位移最小?(3)若vs＞vc.怎樣渡河船漂下的距離最短? 分析與解:(1)如圖2甲所示.設船上頭斜向上游與河岸成任意角θ.這時船速在垂直于河岸方向的速度分量V1=Vcsinθ,渡河所需時間為:. 可以看出:L.Vc一定時.t隨sinθ增大而減小,當θ=900時.sinθ=1,所以.當船頭與河岸垂直時.渡河時間最短.. (2)如圖2乙所示.渡河的最小位移即河的寬度.為了使渡河位移等于L.必須使船的合速度V的方向與河岸垂直.這是船頭應指向河的上游.并與河岸成一定的角度θ.根據三角函數關系有:Vccosθ─Vs=0. 所以θ=arccosVs/Vc,因為0≤cosθ≤1,所以只有在Vc>Vs時.船才有可能垂直于河岸橫渡. (3)如果水流速度大于船上在靜水中的航行速度.則不論船的航向如何.總是被水沖向下游.怎樣才能使漂下的距離最短呢?如圖2丙所示.設船頭Vc與河岸成θ角.合速度V與河岸成α角.可以看出:α角越大.船漂下的距離x越短.那么.在什么條件下α角最大呢?以Vs的矢尖為圓心.以Vc為半徑畫圓.當V與圓相切時.α角最大.根據cosθ=Vc/Vs,船頭與河岸的夾角應為:θ=arccosVc/Vs. 船漂的最短距離為:. 此時渡河的最短位移為:. 思考:①小船渡河過程中參與了哪兩種運動?這兩種運動有何關系? ②過河的最短時間和最短位移分別決定于什么? 【
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