題目列表(包括答案和解析)
在棱長為的正方體中,是線段的中點(diǎn),.
(1) 求證:^;
(2) 求證://平面;
(3) 求三棱錐的表面積.
【解析】本試題考查了線線垂直和線面平行的判定定理和表面積公式的運(yùn)用。第一問中,利用,得到結(jié)論,第二問中,先判定為平行四邊形,然后,可知結(jié)論成立。
第三問中,是邊長為的正三角形,其面積為,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image017.png">平面,所以,
所以是直角三角形,其面積為,
同理的面積為, 面積為. 所以三棱錐的表面積為.
解: (1)證明:根據(jù)正方體的性質(zhì),
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image028.png">,
所以,又,所以,,
所以^. ………………4分
(2)證明:連接,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image033.png">,
所以為平行四邊形,因此,
由于是線段的中點(diǎn),所以, …………6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image035.png">面,平面,所以∥平面. ……………8分
(3)是邊長為的正三角形,其面積為,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image017.png">平面,所以,
所以是直角三角形,其面積為,
同理的面積為, ……………………10分
面積為. 所以三棱錐的表面積為
如圖所示的長方體中,底面是邊長為的正方形,為與的交點(diǎn),,是線段的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)求二面角的大。
【解析】本試題主要考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理,以及二面角的求解的運(yùn)用。中利用,又平面,平面,∴平面由,,又,∴平面. 可得證明
(3)因?yàn)椤?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192139454539928006_ST.files/image021.png">為面的法向量.∵,,
∴為平面的法向量.∴利用法向量的夾角公式,,
∴與的夾角為,即二面角的大小為.
方法一:解:(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.連接,則點(diǎn)、,
∴,又點(diǎn),,∴
∴,且與不共線,∴.
又平面,平面,∴平面.…………………4分
(Ⅱ)∵,
∴,,即,,
又,∴平面. ………8分
(Ⅲ)∵,,∴平面,
∴為面的法向量.∵,,
∴為平面的法向量.∴,
∴與的夾角為,即二面角的大小為
如圖1,在中,,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn),將沿DE折起到的位置,使,如圖2.
(Ⅰ)求證:DE∥平面
(Ⅱ)求證:
(Ⅲ)線段上是否存在點(diǎn)Q,使?說明理由。
【解析】(1)∵DE∥BC,由線面平行的判定定理得出
(2)可以先證,得出,∵∴
∴
(3)Q為的中點(diǎn),由上問,易知,取中點(diǎn)P,連接DP和QP,不難證出,∴∴,又∵∴
如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC為正三角形,M、N、G分別是棱CC1、AB、BC的中點(diǎn),且.
(Ⅰ)求證:CN∥平面AMB1;
(Ⅱ)求證: B1M⊥平面AMG.
【解析】本試題主要是考查了立體幾何匯總線面的位置關(guān)系的運(yùn)用。第一問中,要證CN∥平面AMB1;,只需要確定一條直線CN∥MP,既可以得到證明
第二問中,∵CC1⊥平面ABC,∴平面CC1 B1 B⊥平面ABC,得到線線垂直,B1M⊥AG,結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,可以得證。
解:(Ⅰ)設(shè)AB1 的中點(diǎn)為P,連結(jié)NP、MP ………………1分
∵CM ,NP ,∴CM NP, …………2分
∴CNPM是平行四邊形,∴CN∥MP …………………………3分
∵CN 平面AMB1,MP奐 平面AMB1,∴CN∥平面AMB1…4分
(Ⅱ)∵CC1⊥平面ABC,∴平面CC1 B1 B⊥平面ABC,
∵AG⊥BC,∴AG⊥平面CC1 B1 B,∴B1M⊥AG………………6分
∵CC1⊥平面ABC,平面A1B1C1∥平面ABC,∴CC1⊥AC,CC1⊥B1 C,
設(shè):AC=2a,則
…………………………8分
同理,…………………………………9分
∵ BB1∥CC1,∴BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AB,
………………………………10分
如圖所示,四面體被一平面所截,截面是一個(gè)平行四邊形.求證:;
【答案】(理)證明:EH∥FG,EH面,面
EH∥面,又CD面,EH∥CD, 又EH面EFGH,CD面EFGH
EH∥BD
【解析】本試題主要是考查了空間四面體中線面位置關(guān)系的判定。
要證明線面平行可知通過線線平行,結(jié)合判定定理得到結(jié)論。
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