例1．如圖.在四邊形ABCD中.已知AB∥CD.直線AB.BC.AD.DC分別與平面α相交于點(diǎn)E.G.H.F．求證:E.F.G.H四點(diǎn)必定共線． 解:∵AB∥CD. ∴AB.CD確定一個(gè)平面β． 又∵ABα＝E.ABβ.∴E∈α.E∈β. 即E為平面α與β的一個(gè)公共點(diǎn)． 同理可證F.G.H均為平面α與β的公共點(diǎn)． ∵兩個(gè)平面有公共點(diǎn).它們有且只有一條通過(guò)公共點(diǎn)的公共直線. ∴E.F.G.H四點(diǎn)必定共線． 說(shuō)明:在立體幾何的問(wèn)題中.證明若干點(diǎn)共線時(shí).常運(yùn)用公理2.即先證明這些點(diǎn)都是某二平面的公共點(diǎn).而后得出這些點(diǎn)都在二平面的交線上的結(jié)論． 例2．已知:a.b.c.d是不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線.求證:a.b.c.d共面． 證明 1o若當(dāng)四條直線中有三條相交于一點(diǎn).不妨設(shè)a.b.c相交于一點(diǎn)A. 但AÏd.如圖1． ∴直線d和A確定一個(gè)平面α． 又設(shè)直線d與a.b.c分別相交于E.F.G. 則A.E.F.G∈α． ∵A.E∈α.A.E∈a.∴aα． 同理可證bα.cα． ∴a.b.c.d在同一平面α內(nèi)． 2o當(dāng)四條直線中任何三條都不共點(diǎn)時(shí).如圖2． ∵這四條直線兩兩相交.則設(shè)相交直線a.b確定一個(gè)平面α． 設(shè)直線c與a.b分別交于點(diǎn)H.K.則H.K∈α． 又 H.K∈c.∴c,則cα． 同理可證dα． ∴a.b.c.d四條直線在同一平面α內(nèi)． 說(shuō)明:證明若干條線共面的一般步驟是:首先根據(jù)公理3或推論.由題給條件中的部分線確定一個(gè)平面.然后再根據(jù)公理1證明其余的線均在這個(gè)平面內(nèi)．本題最容易忽視“三線共點(diǎn) 這一種情況．因此.在分析題意時(shí).應(yīng)仔細(xì)推敲問(wèn)題中每一句話的含義． 例3．已知不共面的三條直線..相交于點(diǎn).....求證:與是異面直線． 證一:假設(shè)AD和BC共面.所確定的平面為α. 那么點(diǎn)P.A.B.C.D都在平面α內(nèi).∴直線a.b.c都 在平面α內(nèi).與已知條件a.b.c不共面矛盾.假設(shè)不成立. ∴AD和BC是異面直線. 證二:∵a∩c=P.∴它們確定一個(gè)平面.設(shè)為α.由已知C平面α.B∈平面α.AD平面α.BAD.∴AD和BC是異面直線. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

9、如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點(diǎn)E，G，H，F(xiàn)．求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線．

查看答案和解析>>

如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點(diǎn)E，G，H，F(xiàn)．求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線．

查看答案和解析>>

如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點(diǎn)E，G，H，F(xiàn)．求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線．

查看答案和解析>>

如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點(diǎn)E，G，H，F(xiàn)．求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線．

查看答案和解析>>

如圖，在四邊形ABCD中，已知AB=13，AC=10，AD=5，CD=數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)公式
（1）求cos∠BAC的值；
（2）求sin∠CAD的值；
（3）求△BAD的面積．

查看答案和解析>>


同步練習(xí)冊(cè)答案