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題目列表(包括答案和解析)

（提示：1、12、13、14班同學請完成試題（B），其他班級同學任選試題（A）或（B）作答）
（A） 已知點A（2，3），B（5，4），C（7，10）及
AP
=
AB
+t
AC
，試問：
（1）t為何值時，P在第三象限？
（2）是否存在D點使得四邊形ABCD為平行四邊形，若存在，求出D點坐標．
（B） 已知平行四邊形ABCD，對角線AC與BD交于點E，
AN
=
1
2
ND
，連接BN交AC于M，
（1）若
AM
=λ
AE
，求實數(shù)λ．
（2）若B（0，0），C（1，0），D（2，1），求M的坐標．

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（提示：請從以下兩個不等式選擇其中一個證明即可，若兩題都答以第一題為準）
（1）設ai∈R+，bi∈R+，i=1，2，…n，且a1+a2+…an=b1+b2+…bn=2，求證：
a
2
1
a1+b1
+
a
2
2
a2+b2
+…+
a
2
n
an+bn
≥1
（2）設ai∈R+（i=1，2，…n），求證：
(a1+a2+…an)2
2(
a
2
1
+
a
2
2
+…
a
2
n
)
≤
a1
a2+a3
+
a2
a3+a4
+…+
an
a1+a2
．

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（提示：1、12、13、14班同學請完成試題（B），其他班級同學任選試題（A）或（B）作答）
（A） 已知點A（2，3），B（5，4），C（7，10）及數(shù)學公式，試問：
（1）t為何值時，P在第三象限？
（2）是否存在D點使得四邊形ABCD為平行四邊形，若存在，求出D點坐標．
（B） 已知平行四邊形ABCD，對角線AC與BD交于點E，數(shù)學公式，連接BN交AC于M，
（1）若數(shù)學公式，求實數(shù)λ．
（2）若B（0，0），C（1，0），D（2，1），求M的坐標．

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（提示：請從以下兩個不等式選擇其中一個證明即可，若兩題都答以第一題為準）
（1）設ai∈R+，bi∈R+，i=1，2，…n，且a1+a2+…an=b1+b2+…bn=2，求證：
（2）設ai∈R+（i=1，2，…n），求證：．

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設函數(shù)（提示 ：）

（1）若函數(shù)在定義域上是單調函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2） 若，證明對任意的正整數(shù)n，不等式都成立.

 

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一、選擇題

1、B（A）   2、C        3、A(C)       4、D         5、D          6、C（D）  

7、B         8、B        9、C          10、B        11、B        12、A（C）

二、填空題

13、6          14、           15、31           16、

三、解答題

17、解：⑴由

       由 

        

       ∴函數(shù)的最小正周期T= …………………6分

       ⑵由

       ∴f（x）的單調遞減區(qū)間是．

       ⑶，∴奇函數(shù)的圖象左移 即得到的圖象，

故函數(shù)的圖象右移后對應的函數(shù)成為奇函數(shù)．…………………12分

18、（文）解：（1），又. ∴，.

（2）至少需要3秒鐘可同時到達點.

到達點的概率. 到達點的概率.

     故所求的概率.

（理）解：（Ⅰ）的概率分布為

1．2

1．18

1．17

．

由題設得，即的概率分布為

0

1

2

故的概率分布為

1．3

1．25

0．2

所以的數(shù)學期望．

（Ⅱ）由

∵，∴．

 

19、解：（1）取中點，連結，∵是的中點，是的中點.

∴  所以，所以………………………… 2分

又平面，所以平面………………………………………… 4分

（2）分別在兩底面內作于，于，連結，易得，以為原點，為軸，為軸，為軸建立直角坐標系，

設，則……………………………………………………… 5分

  .

易求平面的法向量為…………………………………………… 7分

設平面的法向量為

，由…………… 9分

取得  ∴…………… 11分

由題知 ∴

所以在上存在點，當時是直二面角.…………… 12分

20、解：（1）由，得，兩式相減，得，∴，∵是常數(shù)，且，，故

為不為0的常數(shù)，∴是等比數(shù)列.

（2）由，且時，，得

，∴是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，

∴，故.

（3）由已知，∴

相減得：，∴，

，遞增，∴，對均成立，∴∴，又，∴最大值為7.

21、（文）解：(Ⅰ)因為

                      

             又  

             因此    

             解方程組得 

         (Ⅱ)因為     

             所以     

             令      

             因為    

                     

             所以     在（-2，0）和（1，+）上是單調遞增的；

                           在（-，-2）和（0，1）上是單調遞減的.

         (Ⅲ)由（Ⅰ）可知         

            

 

（理）（1）證：令,令時

            時,.  ∴

             ∴ 即.

  （2）∵是R上的奇函數(shù)  ∴  ∴

       ∴  ∴  故.

       故討論方程在的根的個數(shù).

       即在的根的個數(shù).

       令.注意,方程根的個數(shù)即交點個數(shù).

        對, ,

        令, 得，

         當時,; 當時,.  ∴，

         當時,；   當時,， 但此時

，此時以軸為漸近線。

       ①當即時,方程無根;

②當即時,方程只有一個根.

③當即時,方程有兩個根.

 （3）由(1)知,   令,

      ∴,于是,

      ∴

         .

22、（文）22．解：（1）在中，．

．  （小于的常數(shù)）

故動點的軌跡是以，為焦點，實軸長的雙曲線．方程為．

（2）方法一：在中，設，，，．

假設為等腰直角三角形，則

由②與③得：，

則

由⑤得：，

，

故存在滿足題設條件．

方法二：（1）設為等腰直角三角形，依題設可得：

所以，．

則．①

由，可設，

則，．

則．②

由①②得．③

根據(jù)雙曲線定義可得，．

平方得：．④

由③④消去可解得，

故存在滿足題設條件．

 

 

 

 

（理）解：（1） ，

，

    于是，所求“果圓”方程為

    ，．                    

（2）由題意，得  ，即．

         ，，得．  

     又．  ．                                             

（3）設“果圓”的方程為，．

    記平行弦的斜率為．

當時，直線與半橢圓的交點是

，與半橢圓的交點是．

 的中點滿足  得 ．  

     ， ．

    綜上所述，當時，“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上． 

    當時，以為斜率過的直線與半橢圓的交點是．  

由此，在直線右側，以為斜率的平行弦的中點軌跡在直線上，即不在某一橢圓上．   當時，可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上．

 


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