第三部分 運動學

第一講　基本知識介紹

一． 基本概念

1．  質點

2．  參照物

3．  參照系——固連于參照物上的坐標系（解題時要記住所選的是參照系，而不僅是一個點）

4．絕對運動，相對運動，牽連運動：v_絕=v_相+v_牽 

二．運動的描述

1．位置：r=r(t) 

2．位移：Δr=r(t+Δt)－r(t)

3．速度：v=lim_Δt→0Δr/Δt.在大學教材中表述為：v=dr/dt, 表示r對t 求導數(shù)

5．以上是運動學中的基本物理量，也就是位移、位移的一階導數(shù)、位移的二階導數(shù)�？墒�

三階導數(shù)為什么不是呢？因為牛頓第二定律是F=ma,即直接和加速度相聯(lián)系。（a對t的導數(shù)叫“急動度”。）

6．由于以上三個量均為矢量，所以在運算中用分量表示一般比較好

三．等加速運動

v(t)=v₀+at           r(t)=r₀+v₀t+1/2 at² 

 一道經典的物理問題：二次世界大戰(zhàn)中物理學家曾經研究，當大炮的位置固定，以同一速度v₀沿各種角度發(fā)射，問：當飛機在哪一區(qū)域飛行之外時，不會有危險？（注：結論是這一區(qū)域為一拋物線，此拋物線是所有炮彈拋物線的包絡線。此拋物線為在大炮上方h=v²/2g處，以v₀平拋物體的軌跡。） 

練習題：

一盞燈掛在離地板高l₂,天花板下面l₁處。燈泡爆裂，所有碎片以同樣大小的速度v 朝各個方向飛去。求碎片落到地板上的半徑（認為碎片和天花板的碰撞是完全彈性的，即切向速度不變，法向速度反向；碎片和地板的碰撞是完全非彈性的，即碰后靜止。）

四．剛體的平動和定軸轉動

1． 我們講過的圓周運動是平動而不是轉動 

  2．  角位移φ=φ（t）, 角速度ω=dφ/dt , 角加速度ε=dω/dt

 3．  有限的角位移是標量，而極小的角位移是矢量

4．  同一剛體上兩點的相對速度和相對加速度 

兩點的相對距離不變，相對運動軌跡為圓弧，V_A=V_B+V_AB,在AB連線上

投影：[V_A]_AB=[V_B]_AB,a_A=a_B+a_AB,a_AB=_,aⁿ_AB+_,a^τ_AB, _,a^τ_AB垂直于AB,_,aⁿ_AB=V_AB²/AB 

例：A，B，C三質點速度分別V_A ，V_B  ，V_C      

求G的速度。

五．課后習題：

一只木筏離開河岸，初速度為V，方向垂直于岸邊，航行路線如圖。經過時間T木筏劃到路線上標有符號處。河水速度恒定U用作圖法找到在2T，3T，4T時刻木筏在航線上的確切位置。

五、處理問題的一般方法

（1）用微元法求解相關速度問題

例1：如圖所示，物體A置于水平面上，A前固定一滑輪B，高臺上有一定滑輪D，一根輕繩一端固定在C點，再繞過B、D，BC段水平，當以恒定水平速度v拉繩上的自由端時，A沿水平面前進，求當跨過B的兩段繩子的夾角為α時，A的運動速度。

（v_A＝）

（2）拋體運動問題的一般處理方法

1. 平拋運動
2. 斜拋運動
3. 常見的處理方法

（1）將斜上拋運動分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的豎直上拋運動

（2）將沿斜面和垂直于斜面方向作為x、y軸，分別分解初速度和加速度后用運動學公式解題

（3）將斜拋運動分解為沿初速度方向的斜向上的勻速直線運動和自由落體運動兩個分運動，用矢量合成法則求解

例2：在擲鉛球時，鉛球出手時距地面的高度為h，若出手時的速度為V₀，求以何角度擲球時，水平射程最遠？最遠射程為多少？

（α=、 x=）

第二講 運動的合成與分解、相對運動

（一）知識點點撥

1. 力的獨立性原理：各分力作用互不影響，單獨起作用。
2. 運動的獨立性原理：分運動之間互不影響，彼此之間滿足自己的運動規(guī)律
3. 力的合成分解：遵循平行四邊形定則，方法有正交分解，解直角三角形等
4. 運動的合成分解：矢量合成分解的規(guī)律方法適用
1. 位移的合成分解 B.速度的合成分解 C.加速度的合成分解

參考系的轉換：動參考系，靜參考系

相對運動：動點相對于動參考系的運動

絕對運動：動點相對于靜參考系統(tǒng)（通常指固定于地面的參考系）的運動

牽連運動：動參考系相對于靜參考系的運動

（5）位移合成定理：S_A對地=S_A對B+S_B對地

速度合成定理：V_絕對=V_相對+V_牽連

加速度合成定理：a_絕對=a_相對+a_牽連

（二）典型例題

（1）火車在雨中以30m/s的速度向南行駛，雨滴被風吹向南方，在地球上靜止的觀察者測得雨滴的徑跡與豎直方向成21^。角，而坐在火車里乘客看到雨滴的徑跡恰好豎直方向。求解雨滴相對于地的運動。

提示：矢量關系入圖

答案：83.7m/s

（2）某人手拿一只停表，上了一次固定樓梯，又以不同方式上了兩趟自動扶梯，為什么他可以根據(jù)測得的數(shù)據(jù)來計算自動扶梯的臺階數(shù)？

提示：V人對梯=n1/t1

      V梯對地=n/t2

      V人對地=n/t3

V人對地= V人對梯+ V梯對地

答案：n=t₂t₃n₁/（t₂-t₃）t₁

(3)某人駕船從河岸A處出發(fā)橫渡，如果使船頭保持跟河岸垂直的方向航行，則經10min后到達正對岸下游120m的C處，如果他使船逆向上游，保持跟河岸成а角的方向航行，則經過12.5min恰好到達正對岸的B處，求河的寬度。

提示：120=V水*600

        D=V船*600

 答案：200m

（4）一船在河的正中航行，河寬l=100m，流速u=5m/s，并在距船s=150m的下游形成瀑布，為了使小船靠岸時，不至于被沖進瀑布中，船對水的最小速度為多少？

提示：如圖船航行

答案：1.58m/s

（三）同步練習

1.一輛汽車的正面玻璃一次安裝成與水平方向傾斜角為β₁=30°，另一次安裝成傾角為β₂=15°。問汽車兩次速度之比為多少時，司機都是看見冰雹都是以豎直方向從車的正面玻璃上彈開？（冰雹相對地面是豎直下落的）

2、模型飛機以相對空氣v=39km/h的速度繞一個邊長2km的等邊三角形飛行，設風速u = 21km/h ，方向與三角形的一邊平行并與飛機起飛方向相同，試求：飛機繞三角形一周需多少時間？

3.圖為從兩列蒸汽機車上冒出的兩股長幅氣霧拖尾的照片（俯視）。兩列車沿直軌道分別以速度v₁=50km/h和v₂=70km/h行駛，行駛方向如箭頭所示，求風速。

4、細桿AB長L ，兩端分別約束在x 、 y軸上運動，（1）試求桿上與A點相距aL（0＜ a ＜1)的P點運動軌跡；（2）如果v_A為已知，試求P點的x 、 y向分速度v_Px和v_Py對桿方位角θ的函數(shù)。

（四）同步練習提示與答案

1、提示：利用速度合成定理，作速度的矢量三角形。答案為：3。

2、提示：三角形各邊的方向為飛機合速度的方向（而非機頭的指向）；

第二段和第三段大小相同。

參見右圖，顯然：

v² =  + u² － 2v_合ucos120°

可解出 v_合 = 24km/h 。

答案：0.2hour（或12min.）。

3、提示：方法與練習一類似。答案為：3

4、提示：（1）寫成參數(shù)方程后消參數(shù)θ。

（2）解法有講究：以A端為參照， 則桿上各點只繞A轉動。但鑒于桿子的實際運動情形如右圖，應有v_牽 = v_Acosθ，v_轉 = v_A，可知B端相對A的轉動線速度為：v_轉 + v_Asinθ=  。

P點的線速度必為  = v_相 

所以 v_Px = v_相cosθ+ v_Ax ，v_Py = v_Ay － v_相sinθ

答案：（1） +  = 1 ，為橢圓；（2）v_Px = av_Actgθ ，v_Py =（1 － a）v_A

Ａ．(選修模塊3-3）（12分）
（1）下列四幅圖的有關說法中正確的是      　　

A．分子間距離為r₀時，分子間不存在引力和斥力
B．水面上的單分子油膜，在測量油膜直徑d大小時可把他們當做球形處理
C．食鹽晶體中的鈉、氯離子按一定規(guī)律分布，具有空間上的周期性
D．猛推木質推桿，氣體對外界做正功，密閉的氣體溫度升高，壓強變大
（2）已知某物質摩爾質量為M，密度為ρ，阿伏加德羅常數(shù)為N_A，則該物質的分子質量為      ，單位體積的分子數(shù)為      ． 
（3）如圖，一定質量的理想氣體從狀態(tài)A經等容過程變化到狀態(tài)B，此過程中氣體吸收的熱量Q=6.0×10²J，

求：
①該氣體在狀態(tài)A時的壓強；
②該氣體從狀態(tài)A到狀態(tài)B過程中內能的增量。
B．(選修模塊3-４）（12分）
（1）下列四幅圖的有關說法中正確的是   　  

A．由兩個簡諧運動的圖像可知：它們的相位差為/2或者
B．當球與橫梁之間存在摩擦的情況下，球的振動不是簡諧運動
C．頻率相同的兩列波疊加時，某些區(qū)域的振動加強，某些區(qū)域的振動減弱
D．當簡諧波向右傳播時，質點A此時的速度沿y軸正方向
（2）1905年愛因斯坦提出的狹義相對論是以狹義相對性原理和           這兩條基本假設為前提的；在相對于地面以0.8c運動的光火箭上的人觀測到地面上的的生命進程比火箭上的生命進程要　　　（填快或慢）。
（3）如圖所示，△ABC為等腰直角三棱鏡的橫截面，∠C=90°，一束激光a沿平行于AB邊射入棱鏡，經一次折射后射到BC邊時，剛好能發(fā)生全反射，求該棱鏡的折射率n和棱鏡中的光速。

C．(選修模塊3-5）（12分）
（1）下列說法正確的是
A．某放射性元素經過19天后，余下的該元素的質量為原來的1/32，則該元素的半衰期為 3.8天
B．a粒子散射實驗說明原子核內部具有復雜結構
C．對放射性物質施加壓力，其半衰期將減少
D．氫原子從定態(tài)n=3躍遷到定態(tài)n= 2，再躍遷到定態(tài)n = 1，則后一次躍遷輻射的光的波長比前一次的要短
（2）光電效應和       都證明光具有粒子性，      提出實物粒子也具有波動性。
（3）如圖所示,水平光滑地面上依次放置著質量均為m ="0.08" kg的10塊完全相同的長直木板。質量M =" 1.0" kg、大小可忽略的小銅塊以初速度v₀="6.0" m/s從長木板左端滑上木板，當銅塊滑離第一塊木板時，速度大小為v₁="4.0" m/_S。銅塊最終停在第二塊木板上。取g="10" m/s²，結果保留兩位有效數(shù)字。求：

①第一塊木板的最終速度
②銅塊的最終速度

Ａ．(選修模塊3-3）（12分）

（1）下列四幅圖的有關說法中正確的是      　　

A．分子間距離為r₀時，分子間不存在引力和斥力

B．水面上的單分子油膜，在測量油膜直徑d大小時可把他們當做球形處理

C．食鹽晶體中的鈉、氯離子按一定規(guī)律分布，具有空間上的周期性

D．猛推木質推桿，氣體對外界做正功，密閉的氣體溫度升高，壓強變大

（2）已知某物質摩爾質量為M，密度為ρ，阿伏加德羅常數(shù)為N_A，則該物質的分子質量為      ，單位體積的分子數(shù)為      ． 

（3）如圖，一定質量的理想氣體從狀態(tài)A經等容過程變化到狀態(tài)B，此過程中氣體吸收的熱量Q=6.0×10²J，

求：

①該氣體在狀態(tài)A時的壓強；

②該氣體從狀態(tài)A到狀態(tài)B過程中內能的增量。

B．(選修模塊3-４）（12分）

（1）下列四幅圖的有關說法中正確的是   　  

A．由兩個簡諧運動的圖像可知：它們的相位差為/2或者

B．當球與橫梁之間存在摩擦的情況下，球的振動不是簡諧運動

C．頻率相同的兩列波疊加時，某些區(qū)域的振動加強，某些區(qū)域的振動減弱

D．當簡諧波向右傳播時，質點A此時的速度沿y軸正方向

（2）1905年愛因斯坦提出的狹義相對論是以狹義相對性原理和           這兩條基本假設為前提的；在相對于地面以0.8c運動的光火箭上的人觀測到地面上的的生命進程比火箭上的生命進程要　　　（填快或慢）。

（3）如圖所示，△ABC為等腰直角三棱鏡的橫截面，∠C=90°，一束激光a沿平行于AB邊射入棱鏡，經一次折射后射到BC邊時，剛好能發(fā)生全反射，求該棱鏡的折射率n和棱鏡中的光速。

C．(選修模塊3-5）（12分）

（1）下列說法正確的是

A．某放射性元素經過19天后，余下的該元素的質量為原來的1/32，則該元素的半衰期為 3.8天

B．a粒子散射實驗說明原子核內部具有復雜結構

C．對放射性物質施加壓力，其半衰期將減少

D．氫原子從定態(tài)n=3躍遷到定態(tài)n= 2，再躍遷到定態(tài)n = 1，則后一次躍遷輻射的光的波長比前一次的要短

（2）光電效應和       都證明光具有粒子性，      提出實物粒子也具有波動性。

（3）如圖所示,水平光滑地面上依次放置著質量均為m ="0.08" kg的10塊完全相同的長直木板。質量M =" 1.0" kg、大小可忽略的小銅塊以初速度v₀="6.0" m/s從長木板左端滑上木板，當銅塊滑離第一塊木板時，速度大小為v₁="4.0" m/_S。銅塊最終停在第二塊木板上。取g="10" m/s²，結果保留兩位有效數(shù)字。求：

①第一塊木板的最終速度

②銅塊的最終速度