13.你注意到指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)了嗎?你知道互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖像之間有何關(guān)系嗎?(關(guān)于直線對稱) . 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

(1)若橢圓的方程是:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),它的左、右焦點依次為F1、F2,P是橢圓上異于長軸端點的任意一點.在此條件下我們可以提出這樣一個問題:“設(shè)△PF1F2的過P角的外角平分線為l,自焦點F2引l的垂線,垂足為Q,試求Q點的軌跡方程?”
對該問題某同學(xué)給出了一個正確的求解,但部分解答過程因作業(yè)本受潮模糊了,我們在
精英家教網(wǎng)
這些模糊地方劃了線,請你將它補充完整.
解:延長F2Q 交F1P的延長線于E,據(jù)題意,
E與F2關(guān)于l對稱,所以|PE|=|PF2|.
所以|EF1|=|PF1|+|PE|=|PF1|+|PF2|=
 
,
在△EF1F2中,顯然OQ是平行于EF1的中位線,
所以|OQ|=
1
2
|EF1|=
 

注意到P是橢圓上異于長軸端點的點,所以Q點的軌跡是
 
,
其方程是:
 

(2)如圖2,雙曲線的方程是:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a,b>0),它的左、右焦點依次為F1、F2,P是雙曲線上異于實軸端點的任意一點.請你試著提出與(1)類似的問題,并加以證明.

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(本小題滿分14分)

(1)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若m+n=s+t(m,n,s,t∈N*,且m≠n,s≠t),證明;= ;

(2)注意到(1)中Sn與n的函數(shù)關(guān)系,我們得到命題:設(shè)拋物線x2=2py(p>0)的圖像上有不同的四點A,B,C,D,若xA,xB,xC,xD分別是這四點的橫坐標,且xA+xB=xC+xD,則AB∥CD,判定這個命題的真假,并證明你的結(jié)論

(3)我們知道橢圓和拋物線都是圓錐曲線,根據(jù)(2)中的結(jié)論,對橢圓+ =1(a>b>0)提出一個有深度的結(jié)論,并證明之.

 

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材料:采訪零向量

  W:你好!零向量.我是《數(shù)學(xué)天地》的一名記者,為了讓在校的高中生更好了解你,能不能對你進行一次采訪呢?

  零向量:當(dāng)然可以,我們向量王國隨時恭候大家的光臨,很樂意接受你的采訪,讓高中生朋友更加了解我,更好地為他們服務(wù).

  W:好的,那就開始吧!你的名字有什么特殊的含義嗎?

  零向量:零向量就是長度為零的向量,它與數(shù)字0有著密切的聯(lián)系,所以用0來表示我.

  W:你與其他向量有什么共同之處呢?

  零向量:既然我是向量王國的一個成員,就具有向量的基本性質(zhì),如既有大小又有方向,在進行加、減法運算時滿足交換律和結(jié)合律,還定義了與實數(shù)的積.

  W:你有哪些值得驕傲的特殊榮耀呢?

  零向量:首先,我的方向是不定的,可以與任意的向量平行.其次,我還有其他一些向量所沒有的特殊待遇:如我的相反向量仍是零向量;在向量的線性運算中,我與實數(shù)0很有相似之處.

  W:你有如此多的榮耀,那么是否還有煩惱之事呢?

  零向量:當(dāng)然有了,在向量王國還有許多“權(quán)利和義務(wù)”卻大有把我排斥在外之意,如平行向量的定義,向量共線定理,兩向量夾角的定義都對我進行了限制.所有這些確實給一些高中生帶來了很多苦惱,在此我向大家真誠地說一聲:對不起,這不是我的錯.但我還是很高興有這次機會與大家見面.

  W:OK!采訪就到這里吧,非常感謝你的合作,再見!

  零向量:Bye!

閱讀上面的材料回答下面問題.

應(yīng)用零向量時應(yīng)注意哪些問題?

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(2007•楊浦區(qū)二模)(文)設(shè)F1、F2分別為橢圓C:
x2
m2
+
y2
n2
=1
(m>0,n>0且m≠n)的兩個焦點.
(1)若橢圓C上的點A(1,
3
2
)到兩個焦點的距離之和等于4,求橢圓C的方程.
(2)如果點P是(1)中所得橢圓上的任意一點,且
PF1
PF2
=0
,求△PF1F2的面積.
(3)若橢圓C具有如下性質(zhì):設(shè)M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩點,點Q是橢圓上任意一點,且直線QM與直線QN的斜率都存在,分別記為KQM、KQN,那么KQM和KQN之積是與點Q位置無關(guān)的定值.試問:雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)是否具有類似的性質(zhì)?并證明你的結(jié)論.通過對上面問題進一步研究,請你概括具有上述性質(zhì)的二次曲線更為一般的結(jié)論,并說明理由.

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(理科做)
閱讀下面題目的解法,再根據(jù)要求解決后面的問題.
閱讀題目:對于任意實數(shù)a1,a2,b1,b2,證明不等式(a1b1+a2b22≤(a12+a22)(b12+b22).
證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(a1x+b12+(a2x+b22=(a12+a22)x2+2(a1b1+a2b2)x+(b12+b22).
注意到f(x)≥0,所以△=[2(a1b1+a2b2)]2-4(a12+a22)(b12+b22)≤0,
即(a1b1+a2b22≤(a12+a22)(b12+b22).
(其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a1x+b1=a2x+b2=0,即a1b2=a2b1.)
問題:(1)請用這個不等式證明:對任意正實數(shù)a,b,x,y,不等式
a2
x
+
b2
y
(a+b)2
x+y
成立.
(2)用(1)中的不等式求函數(shù)y=
2
x
+
9
1-2x
(0<x<
1
2
)
的最小值,并指出此時x的值.
(3)根據(jù)閱讀題目的證明,將不等式(a1b1+a2b22≤(a12+a22)(b12+b22)進行推廣,得到一個更一般的不等式,并用構(gòu)造函數(shù)的方法對你的推廣進行證明.

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同步練習(xí)冊答案