題型1:隨機事件的定義 例1．判斷下列事件哪些是必然事件.哪些是不可能事件.哪些是隨機事件? (1)“拋一石塊.下落 . (2)“在標準大氣壓下且溫度低于0℃時.冰融化 , (3)“某人射擊一次.中靶 , (4)“如果a＞b,那么a-b＞0 ; (5)“擲一枚硬幣.出現(xiàn)正面 , (6)“導(dǎo)體通電后.發(fā)熱 , (7)“從分別標有號數(shù)1.2.3.4.5的5張標簽中任取一張.得到4號簽 , (8)“某電話機在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫 , (9)“沒有水份.種子能發(fā)芽 , (10)“在常溫下.焊錫熔化 ． 解析:根據(jù)定義.事件是必然事件,事件是不可能事件,事件是隨機事件. 點評:熟悉必然事件.不可能事件.隨機事件的聯(lián)系與區(qū)別.針對不同的問題加以區(qū)分. 例2．(1)如果某種彩票中獎的概率為.那么買1000張彩票一定能中獎嗎?請用概率的意義解釋. 解析:不一定能中獎.因為.買1000張彩票相當于做1000次試驗.因為每次試驗的結(jié)果都是隨機的.即每張彩票可能中獎也可能不中獎.因此.1000張彩票中可能沒有一張中獎.也可能有一張.兩張乃至多張中獎. 點評:買1000張彩票.相當于1000次試驗.因為每次試驗的結(jié)果都是隨機的.所以做1000次試驗的結(jié)果也是隨機的.也就是說.買1000張彩票有可能沒有一張中獎. (2)在一場乒乓球比賽前.裁判員利用抽簽器來決定由誰先發(fā)球.請用概率的知識解釋其公平性. 解析:這個規(guī)則是公平的.因為抽簽上拋后.紅圈朝上與綠圈朝上的概率均是0.5.因此任何一名運動員猜中的概率都是0.5.也就是每個運動員取得先發(fā)球權(quán)的概率都是0.5. 點評:這個規(guī)則是公平的.因為每個運動員先發(fā)球的概率為0.5.即每個運動員取得先發(fā)球權(quán)的概率是0.5.事實上.只能使兩個運動員取得先發(fā)球權(quán)的概率都是0.5的規(guī)則都是公平的. 題型2:頻率與概率 例3．某種菜籽在相同在相同的條件下發(fā)芽試驗結(jié)果如下表: 種子粒數(shù) 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000 發(fā)芽粒數(shù) 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715 解析:我們根據(jù)表格只能計算不同情況下的種子發(fā)芽的頻率分別是:1.0.8.0.9.0.857.0.892.0.910.0.913.0.893.0.903.0.905.隨著種子粒數(shù)的增加.菜籽發(fā)芽的頻率越接近于0.9.且在它附近擺動.故此種子發(fā)芽的概率為0.9. 點評:我們可以用頻率的趨向近似值表示隨機事件發(fā)生的概率. 例4．進行這樣的試驗:從0.1.2.-.9這十個數(shù)字中隨機取一個數(shù)字.重復(fù)進行這個試驗10000次.將每次取得的數(shù)字依次記下來.我們就得到一個包括10000個數(shù)字的“隨機數(shù)表 ．在這個隨機數(shù)表里.可以發(fā)現(xiàn)0.1.2.-.9這十個數(shù)字中各個數(shù)字出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在0.1附近．現(xiàn)在我們把一個隨機數(shù)表等分為10段.每段包括1000個隨機數(shù).統(tǒng)計每1000個隨機數(shù)中數(shù)字“7 出現(xiàn)的頻率.得到如下的結(jié)果: 段序:n=1000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 出現(xiàn)“7 的頻數(shù) 95 88 95 112 95 99 82 89 111 102 出現(xiàn)“7 的頻率 0.095 0.088 0.095 0.112 0.095 0.099 0.082 0.089 0.111 0.102 由上表可見.每1000個隨機數(shù)中“7 出現(xiàn)的頻率也穩(wěn)定在0.1的附近．這就是頻率的穩(wěn)定性．我們把隨機事件A的頻率P(A)作為隨機事件A的概率P(A)的近似值. 點評:利用概率的統(tǒng)計定義.在計算每一個隨機事件概率時都要通過大量重復(fù)的試驗.列出一個表格.從表格中找到某事件出現(xiàn)頻率的近似值作為所求概率.這從某種意義上說是很繁瑣的. 題型3:隨機事件間的關(guān)系 例5．(1)某戰(zhàn)士在打靶中.連續(xù)射擊兩次.事件“至少有一次中靶 的對立事件是( ) (A)至多有一次中靶 (B)兩次都中靶 (C)兩次都不中靶 (D)只有一次中靶 答案:C. 點評:根據(jù)實際問題分析好對立事件與互斥事件間的關(guān)系. (2)把標號為1.2.3.4的四個小球隨機地分發(fā)給甲.乙.丙.丁四個人.每人分得一個.事件“甲分得1號球 與事件“乙分得1號球 是( ) (A)互斥但非對立事件 (B)對立事件 (C)相互獨立事件 (D)以上都不對 答案:A. 點評:一定要區(qū)分開對立和互斥的定義.互斥事件:不能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件,對立事件:不能同時發(fā)生.但必有一個發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件. 例6．甲.乙兩臺機床相互沒有影響地生產(chǎn)某種產(chǎn)品.甲機床產(chǎn)品的正品率是乙機床產(chǎn)品的正品率是. (I)從甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取3件.求其中恰有2件正品的概率, (II)從甲.乙兩臺機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中各任取1件.求其中至少有1件正品的概率. (I)解:任取甲機床的3件產(chǎn)品恰有2件正品的概率為 (II)解法一:記“任取甲機床的1件產(chǎn)品是正品 為事件A.“任取乙機床的1件產(chǎn)品是正品 為事件B.則任取甲.乙兩臺機床的產(chǎn)品各1件.其中至少有1件正品的概率為: 解法二:運用對立事件的概率公式.所求的概率為: 點評:本小題考查互斥事件.相互獨立事件的概率等基礎(chǔ)知識.及分析和解決實際問題的能力. 題型4:古典概率模型的計算問題 例7．從含有兩件正品a1.a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中.每次任取一件.每次取出后不放回.連續(xù)取兩次.求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率. 解析:每次取出一個.取后不放回地連續(xù)取兩次.其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有6個.即(a1.a2)和.(a1.b2).(a2.a1).(a2.b1).(b1.a1).(b2.a2).其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品.右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)用A表示“取出的兩種中.恰好有一件次品 這一事件. 則A=[(a1.b1).(a2.b1).(b1.a1).(b1.a2)]. 事件A由4個基本事件組成.因而.P(A)==. 點評:利用古典概型的計算公式時應(yīng)注意兩點:(1)所有的基本事件必須是互斥的,(2)m為事件A所包含的基本事件數(shù).求m值時.要做到不重不漏. 例8．現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件.其中8件為正品.2件為次品: (1)如果從中取出一件.然后放回.再取一件.求連續(xù)3次取出的都是正品的概率, (2)如果從中一次取3件.求3件都是正品的概率. 分析:為不返回抽樣. 解析:(1)有放回地抽取3次.按抽取順序記錄結(jié)果.則x,y,z都有10種可能.所以試驗結(jié)果有10×10×10=103種,設(shè)事件A為“連續(xù)3次都取正品 .則包含的基本事件共有8×8×8=83種.因此.P(A)= =0.512. (2)解法1:可以看作不放回抽樣3次.順序不同.基本事件不同.按抽取順序記錄.則x有10種可能.y有9種可能.z有8種可能.所以試驗的所有結(jié)果為10×9×8=720種．設(shè)事件B為“3件都是正品 .則事件B包含的基本事件總數(shù)為8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467. 解法2:可以看作不放回3次無順序抽樣.先按抽取順序記錄結(jié)果.則x有10種可能.y有9種可能.z有8種可能.但...是相同的.所以試驗的所有結(jié)果有10×9×8÷6=120.按同樣的方法.事件B包含的基本事件個數(shù)為8×7×6÷6=56.因此P(B)= ≈0.467. 點評:關(guān)于不放回抽樣.計算基本事件個數(shù)時.既可以看作是有順序的.也可以看作是無順序的.其結(jié)果是一樣的.但不論選擇哪一種方式.觀察的角度必須一致.否則會導(dǎo)致錯誤. 題型5:利用排列組合知識解古典概型問題 例9．盒中裝著標有數(shù)字1.2.3.4的卡片各2張.從盒中任意任取3張.每張卡片被抽出的可能性都相等.求: (Ⅰ)抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4的概率, (Ⅱ)抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3的概念, (Ⅲ)抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率. 解析:(I)“抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4 的事件記為A. 由題意得:, (II)“抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3 的事件記為B. 則, (III)“抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同 的事件記為C.“抽出的3張卡片上有兩個數(shù)字相同 的事件記為D.由題意.C與D是對立事件. 因為. 所以. 點評:該題通過排列.組合知識完成了古典概型的計算問題.同時要做到所有的基本事件必須是互斥的.要做到不重不漏. 例10．在添加劑的搭配使用中.為了找到最佳的搭配方案.需要對各種不同的搭配方式作比較.在試制某種牙膏新品種時.需要選用兩種不同的添加劑.現(xiàn)有芳香度分別為0.1.2.3.4.5的六種添加劑可供選用.根據(jù)試驗設(shè)計原理.通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗. (Ⅰ)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4的概率, (Ⅱ)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3的概率, 解析:設(shè)“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4 的事件為A.“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3 的事件為B (Ⅰ)芳香度之和等于4的取法有2種:..故. (Ⅱ)芳香度之和等于1的取法有1種:,芳香度之和等于2的取法有1種:.故. 點評:高考對概率內(nèi)容的考查.往往以實際應(yīng)用題出現(xiàn).這既是這類問題的特點.也符合高考發(fā)展方向.考生要以課本概念和方法為主.以熟練技能.鞏固概念為目標.查找知識缺漏.總結(jié)解題規(guī)律. 題型6:易錯題辨析 例11．擲兩枚骰子.求所得的點數(shù)之和為6的概率. 錯解:擲兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和不同情況為{2.3.4.-.12}.故共有11種基本事件.所以概率為P=, 剖析:以上11種基本事件不是等可能的.如點數(shù)和2只有(1.1).而點數(shù)之和為6有.共5種．事實上.擲兩枚骰子共有36種基本事件.且是等可能的.所以“所得點數(shù)之和為6 的概率為P=. 我們經(jīng)常見的錯里還有“投擲兩枚硬幣的結(jié)果 .劃分基本事件“兩正.一正一反.兩反 .其中“一正一反 與“兩正 .“兩反 的機會是不均等. 類型四:基本事件 “不可數(shù) 由概率求值公式.求某一事件發(fā)生的概率時.要求試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個. 如果試驗所包含的基本事件是無限多個.那根本就不會得到基本事件的總數(shù).也就不能用公式來解決問題. 例12．(2000年天津.山西.江西高考試題) 甲.乙二人參加普法知識競賽.共有10個不同的題目.其中選擇題6個.判斷題4個.甲.乙二人一次各抽取一題. (1)甲抽到選擇題.乙抽到判斷題的概率是多少? 錯解:甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果有個.乙從判斷題中抽到一題的的可能結(jié)果是.故甲抽到選擇題.乙抽到判斷題的可能結(jié)果為,又甲.乙二人一次各抽取一題的結(jié)果有.所以概率值為. 剖析:錯把分步原理當作分類原理來處理. 正解:甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果有個.乙從判斷題中抽到一題的的可能結(jié)果是.故甲抽到選擇題.乙抽到判斷題的可能結(jié)果為,又甲.乙二人一次各抽取一題的結(jié)果有.所以概率值為. (2)甲.乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是多少? 錯解:甲.乙中甲抽到判斷題的種數(shù)是6×9種.乙抽到判斷題的種數(shù)6×9種.故甲.乙二人至少有一個抽到選擇題的種數(shù)為12×9,又甲.乙二人一次各抽取一題的種數(shù)是10×9.故甲.乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是. 剖析:顯然概率值不會大于1.這是錯解.該問題對甲.乙二人至少有一個抽到選擇題的計數(shù)是重復(fù)的.兩人都抽取到選擇題這種情況被重復(fù)計數(shù). 正解:甲.乙二人一次各抽取一題基本事件的總數(shù)是10×9=90, 方法一:分類計數(shù)原理 (1)只有甲抽到了選擇題的事件數(shù)是:6×4=24, (2)只有乙抽到了選擇題的事件數(shù)是:6×4=24, (3)甲.乙同時抽到選擇題的事件數(shù)是:6×5=30, 故甲.乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是. 方法二:利用對立事件 事件“甲.乙二人至少有一個抽到選擇題 與事件“甲.乙兩人都未抽到選擇題 是對立事件. 事件“甲.乙兩人都未抽到選擇題 的基本事件個數(shù)是4×3=12, 故甲.乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

下列事件中，隨機事件的個數(shù)是（　　）
①如果a、b是實數(shù)，那么b+a=a+b；
②某地1月1日刮西北風；
③當x是實數(shù)時，x2≥0；
④一個電影院栽天的上座率超過50%．

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下列事件：①連續(xù)兩次拋擲同一個骰子，兩次都出現(xiàn)2點；
②明天下雨；     ③某人買彩票中獎；
④從集合{1，2，3}中任取兩個元素，它們的和大于2；
⑤在標準大氣壓下，水加熱到90℃時會沸騰．其中是隨機事件的個數(shù)有（　�。�

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下列事件中是隨機事件的共有（　　）
①如果a，b都是實數(shù)，那么ab=ba；
②從標有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的小球中任意摸出一個小球，得到的號碼是奇數(shù)；
③買一萬張彩票能中獎；
④1+8＞10．

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某學(xué)校舉辦一場以“為希望工程獻愛心”為主題的圖書義賣活動，同學(xué)甲隨機地從10本書中買兩本，假設(shè)每本書被甲同學(xué)買走的概率相同，已知這10本書中有3本單價定為10元，4本單價定為15元，3本單價定為20元，記甲同學(xué)買這兩本書所付金額為ξ（元）．求：
（1）隨機變量ξ的分布列；
（2）隨機變量ξ的期望Eξ和方差Dξ．

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下列說法正確的是（　　）

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