已知正項數列的前n項和滿足：，

（1）求數列的通項和前n項和；

（2）求數列的前n項和；

（3）證明：不等式  對任意的，都成立．

【解析】第一問中，由于所以

兩式作差，然后得到

從而得到結論

第二問中，利用裂項求和的思想得到結論。

第三問中，

又

       

結合放縮法得到。

解：（1）∵     ∴

      ∴

      ∴   ∴  ………2分

      又∵正項數列，∴           ∴ 

又n=1時，

∴   ∴數列是以1為首項，2為公差的等差數列……………3分

∴                             …………………4分

∴                   …………………5分 

（2）       …………………6分

    ∴

                          …………………9分

（3）

      …………………12分

又

        ，

   ∴不等式  對任意的，都成立．

 

（(本小題共13分)

若數列滿足，數列為數列，記=.

（Ⅰ）寫出一個滿足，且〉0的數列；

（Ⅱ）若，n=2000，證明：E數列是遞增數列的充要條件是=2011；

（Ⅲ）對任意給定的整數n（n≥2），是否存在首項為0的E數列，使得=0？如果存在，寫出一個滿足條件的E數列；如果不存在，說明理由。

【解析】：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數列A₅。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個滿足條件的E的數列A₅）

（Ⅱ）必要性：因為E數列A₅是遞增數列，所以.所以A₅是首項為12，公差為1的等差數列.所以a₂₀₀₀=12+（2000—1）×1=2011.充分性，由于a₂₀₀₀—a₁₀₀₀1，a₂₀₀₀—a₁₀₀₀1……a₂—a₁1所以a₂₀₀₀—a19999，即a₂₀₀₀a₁+1999.又因為a₁=12，a₂₀₀₀=2011,所以a₂₀₀₀=a₁+1999.故是遞增數列.綜上，結論得證。

 

 

閱讀下面的文言文，完成下面5題。

李斯論  （清）姚鼐

蘇子瞻謂李斯以荀卿之學亂天下，是不然。秦之亂天下之法，無待于李斯，斯亦未嘗以其學事秦。

20070327

當秦之中葉，孝公即位，得商鞅任之。商鞅教孝公燔《詩》、《書》，明法令，設告坐之過，而禁游宦之民。因秦國地形便利，用其法，富強數世，兼并諸侯，迄至始皇。始皇之時，一用商鞅成法而已，雖李斯助之，言其便利，益成秦亂，然使李斯不言其便，始皇固自為之而不厭。何也？秦之甘于刻薄而便于嚴法久矣，其后世所習以為善者也。斯逆探始皇、二世之心，非是不足以中侈君張吾之寵。是以盡舍其師荀卿之學，而為商鞅之學；掃去三代先王仁政，而一切取自恣肆以為治，焚《詩》、《書》，禁學士，滅三代法而尚督責，斯非行其學也，趨時而已。設所遭值非始皇、二世，斯之術將不出于此，非為仁也，亦以趨時而已。

君子之仕也，進不隱賢；小人之仕也，無論所學識非也，即有學識甚當，見其君國行事，悖謬無義，疾首嚬蹙于私家之居，而矜夸導譽于朝庭之上，知其不義而勸為之者，謂天下將諒我之無可奈何于吾君，而不吾罪也；知其將喪國家而為之者，謂當吾身容可以免也。且夫小人雖明知世之將亂，而終不以易目前之富貴，而以富貴之謀，貽天下之亂，固有終身安享榮樂，禍遺后人，而彼宴然^①無與者矣。嗟乎！秦未亡而斯先被五刑夷三族也，其天之誅惡人，亦有時而信也邪！

且夫人有為善而受教于人者矣，未聞為惡而必受教于人者也。荀卿述先王而頌言儒效，雖間有得失，而大體得治世之要。而蘇氏以李斯之害天下罪及于卿，不亦遠乎？行其學而害秦者，商鞅也；舍其學而害秦者，李斯也。商君禁游宦，而李斯諫逐客^②，其始之不同術也，而卒出于同者，豈其本志哉！宋之世，王介甫以平生所學，建熙寧新法，其后章惇、曾布、張商英、蔡京之倫，曷嘗學介甫之學耶？而以介甫之政促亡宋，與李斯事頗相類。夫世言法術之學足亡人國，固也。吾謂人臣善探其君之隱，一以委曲變化從世好者，其為人尤可畏哉！尤可畏哉！

 [注釋]①宴然：安閑的樣子。②諫逐客：秦始皇曾發(fā)布逐客令，驅逐六國來到秦國做官的人，李斯寫了著名的《諫逐客書》，提出了反對意見。

對下列句子中加點的詞語的解釋，不正確的一項是（    ）

    A．非是不足以中侈君張吾之寵         中：符合

    B．滅三代法而尚督責                 尚：崇尚

    C．知其不義而勸為之者               勸：鼓勵

    D．而終不以易目前之富貴             易：交換

下列各組句子中，加點的詞的意義和用法相同的一組是（    ）

A．因秦國地形便利             不如因普遇之

    B．設所遭值非始皇、二世       非其身之所種則不食

    C．且夫小人雖明知世之將亂       臣死且不避，卮酒安足辭

    D．不亦遠乎                     王之好樂甚，則齊國其庶幾乎

下列各項中，加點詞語與現代漢語意義不相同的一項是（    ）

    A．小人之仕也，無論所學識非也

    B．而大體得治世之要

C．而以富貴之謀，貽天下之亂

    D．一以委曲變化從世好者

下列各句中對文章的闡述，不正確的一項是（    ）

A．蘇軾認為李斯以荀卿之學輔佐秦朝行暴政，致使天下大亂，作者則認為李斯是完全舍棄了荀子的說學，李斯的做法只不過是追隨時勢罷了。

B．作者由論李斯事秦進而泛論人臣事君的問題，強調為臣者對于國君的“悖謬無義”之政，不應為自身的富貴而阿附甚至助長之。

C．此文主旨在于指出秦行暴政是君王自身的原因，作者所論的不可“趨時”，“中侈君張吾之寵”的道理，在今天仍有借鑒意義。

D．文章開門見山，擺出蘇軾的觀點，然后通過對秦國發(fā)展歷史的分析，駁斥了蘇說的謬論，提出了自己的見解。論證嚴密，逐層深入，是一篇典范的史論。

把文言文閱讀材料中畫橫線的句子翻譯成現代漢語。

   （1）秦之甘于刻薄而便于嚴法久矣

譯文：                                                                    

   （2）謂天下將諒我之無可奈何于吾君，而不吾罪也

譯文：                                                                   

   （3）其始之不同術也，而卒出于同者，豈其本志哉

譯文：                                                                   

一支車隊有15輛車，某天依次出發(fā)執(zhí)行運輸任務，第一輛車于下午2時出發(fā)，第二輛車于下午2時10分出發(fā)，第三輛車于下午2時20分出發(fā)，依此類推。假設所有的司機都連續(xù)開車，并都在下午6時停下來休息。

（1）到下午6時最后一輛車行駛了多長時間？

（2）如果每輛車的行駛速度都是60，這個車隊當天一共行駛了多少千米?

【解析】第一問中，利用第一輛車出發(fā)時間為下午2時，每隔10分鐘即小時出發(fā)一輛

則第15輛車在小時，最后一輛車出發(fā)時間為：小時

第15輛車行駛時間為：小時（1時40分）

第二問中，設每輛車行駛的時間為:,由題意得到

是以為首項，為公差的等差數列

則行駛的總時間為：

則行駛的總里程為：運用等差數列求和得到。

解：（1）第一輛車出發(fā)時間為下午2時，每隔10分鐘即小時出發(fā)一輛

則第15輛車在小時，最后一輛車出發(fā)時間為：小時

第15輛車行駛時間為：小時（1時40分）         ……5分

（2）設每輛車行駛的時間為:,由題意得到

是以為首項，為公差的等差數列

則行駛的總時間為：    ……10分

則行駛的總里程為：