在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中.P是A1B1上的一動(dòng)點(diǎn).平面PAD1和平面PBC1與對(duì)角面ABC1D1所成的二面角的平面角分別為α.β.試求α+β的最大值和最小值. 解析:如圖.對(duì)角面A1B1CD⊥對(duì)角面ABC1D1.其交線(xiàn)為EF.過(guò)P作PQ⊥EF于Q.則PQ⊥對(duì)角面ABC1D1.分別連PE.PF. ∵EF⊥AD1.PE⊥AD1.故由二面角的平面角定義知 ∠PFQ＝α. 同理.∠PFQ＝β. 設(shè)A1P＝x,.則PB1＝1-x. ∵EQ＝A1P.QF＝PB1.PQ＝. ∴當(dāng)0＜x＜1時(shí).有 tanα＝,tanβ＝, ∴tan＝＝ ＝ 而當(dāng)x＝0時(shí)α＝.tan＝tan(+β)＝-cotβ＝-＝-.上式仍成立,類(lèi)似地可以驗(yàn)證.當(dāng)x＝1時(shí).上式也成立.于是.當(dāng)x＝時(shí).tan取最小值-2,當(dāng)x＝0或1時(shí).tan取最大值-. 又∵ 0＜α+β＜π. ∴max＝π-arctan min＝π-arctan2 【查看更多】

 

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