正三棱錐A-BCD.底面邊長為a.側(cè)棱為2a.過點B作與側(cè)棱AC.AD相交的截面.在這樣的截面三角形中.求周長為最小時截面積的值.(3)用這周長最小時的截面截得的小三棱錐的體積與三棱錐體積之比. 解析:(1)沿側(cè)棱AB把正三棱錐的側(cè)面剪開展成平面圖.如圖1.當周長最小時.EF在直線BB′上.∵ΔABE≌ΔB′AF.∴AE＝AF.AC＝AD.∴B′B∥CD.∴∠1＝∠2＝∠3.∴BE＝BC＝a.同理B′F＝B′D＝a.∵ΔFDB′∽ΔADB′.∴＝.＝＝,∴DF＝a,AF＝a.又∵ΔAEF∽ΔACD.∴BB′＝a+a+a＝a,∴截面三角形的周長的最小值為a. (2)如圖2.∵ΔBEF等腰.取EF中點G.連BG.則BG⊥EF.∴BG＝＝＝a ∴SΔBEF＝·EF·BG＝·a·a＝a2. (3)∵VA-BCD＝VB-ACD.而三棱錐B-AEF.三棱錐B-ACD的兩個高相同.所以它們體積之比于它們的兩底面積之比.即 ＝＝＝ 評析 把曲面上的最短路線問題利用展開圖轉(zhuǎn)化為平面上兩點間距離的問題.從而使問題得到解決.這是求曲面上最短路線的一種常用方法.本題中的四面體.其中任何一個面都可以做為底面.因而它可有四個底面和與之對應的四條高.在解決有關三棱錐體積題時.需要靈活運用這個性質(zhì). 【查看更多】

 

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